【趣题征解】设 n 是正整数，证明：7|3^n+n^3 的充分必要条件是 7|3^n×n^3+1

luyuanhong

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【趣题征解】设 n 是正整数，证明：7|3^n+n^3 的充分必要条件是 7|3^n×n^3+1 。
例如，n＝1 时，3^1+1^3＝4 ，3^1×1^3+1＝4 ，都不能被 7 整除。
      n＝2 时，3^2+2^3＝17 ，3^2×2^3+1＝73 ，都不能被 7 整除。
      n＝3 时，3^3+3^3＝54 ，3^3×3^3+1＝730 ，都不能被 7 整除。
      n＝4 时，3^4+4^3＝145 ，3^4×4^3+1＝5185 ，都不能被 7 整除。
      n＝5 时，3^5+5^3＝368 ，3^5×5^3+1＝30376 ，都不能被 7 整除。
      n＝6 时，3^6+6^3＝945 ，3^6×6^3+1＝157465 ，都能被 7 整除。

moranhuishou

证明
若 3^n=1（mod 7）
则
n=6m
则
(6m)^3=6（mod 7）
则
3^6×6^3=6（mod 7）
则
3^6×6^3+1=0（mod 7）
其他不可能（证略）。
证毕。

moranhuishou

下面引用由moranhuishou在 2011/08/28 09:24am 发表的内容：
证明
若 3^n=1（mod 7）
则
n=6m
...

修改笔误：
证明
若 3^n=1（mod 7）
则
n=6m
则
(6m)^3=6（mod 7）
则
3^n×n^3=6（mod 7）
则
3^n×n^3+1=0（mod 7）
其他不可能（证略）。
证毕。

luyuanhong

下面引用由moranhuishou在 2011/08/28 09:28am 发表的内容：
证明
若 3^n=1（mod 7）
则
n=6m
则
(6m)^3=6（mod 7）
则
3^n×n^3=6（mod 7）
则
3^n×n^3+1=0（mod 7）
其他不可能（证略）。
证毕。

楼上的证明中，还有许多地方没有说清楚，例如：
为什么“若 3^n=1（mod 7）则 n=6m”？
为什么“其他不可能”？

moranhuishou

下面引用由luyuanhong在 2011/08/28 10:09am 发表的内容：
楼上的证明中，还有许多地方没有说清楚，例如：
为什么“若 3^n=1（mod 7）则 n=6m”？
为什么“其他不可能”？

补充：
3^(6m+1)=3（mod 7）  ,m=0,1,2,...
3^(6m+2)=3^(6m+1)*3(mod7)=3*3（mod 7）=2(mod 7)
3^(6m+3)=3^(6m+2)*3(mod7)=2*3（mod 7）=6(mod 7)
3^(6m+4)=3^(6m+3)*3(mod7)=6*3（mod 7）=4(mod 7)
3^(6m+5)=3^(6m+4)*3(mod7)=4*3（mod 7）=5(mod 7)
3^(6m+6)=3^(6m+5)*3(mod7)=5*3（mod 7）=1(mod 7)

w632158

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w632158

awei

w632158老师有误

w632158

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王成5