数值计算商 A(n) = (1^n+2^n+...+n^n)/(n^n)

elim

已知  lim (1^n+2^n+...+n^n)/(n^n) = e/(e-1).. 计算其数值并不难.

但以下截图表明，对 n = 1000000,   A(n) = (1^n+2^n+...+n^n)/(n^n)
的数值计算十分困难。为此我们忽略了分子中的大部分项。即便如此，
当 n 为一百万时 A(n) 作为 其极限的近似也还是很粗糙。

关于 A(n) 的计算， 有没有较好的算法？

elim

天山草先生和各位网友，如何用 Mathematica 数值计算

{(1^n+2^n+...+n^n)/(n^n) } 这个要命的数列？

chaoshikong

意思就是说，算e/(e-1)速度很快，，，

但直接用计算机算(1^n+2^n+...+n^n)/(n^n)，当n=1 000 000时，要几十个小时，而且还没有用e/(e-1)精确，是这样吗？？？

elim

可以这么说。所以无穷操作未必是绝对的，不可转化的。另外，一种无穷操作与另一种无穷操作也未必可以同日而语。最后,无穷操作与结果是否为变量根本没有必然联系。

chaoshikong

随便网上抄了个算法，写了个程序测了一下所需时间，计算10000^10000，都要花掉20多秒，如果1 000 000 ^ 1 000 000那更不得了。。。

也许是我抄的这个算法有问题，改进一下试试看。。。

王守恩

elim 发表于 2017-9-14 13:03
天山草先生和各位网友，如何用 Mathematica 数值计算

{(1^n+2^n+...+n^n)/(n^n) } 这个要命的数列？

数值计算商 A(n) = (1^n+2^n+...+n^n)/(n^n)可以用连分数表示吗？

elim

王守恩 发表于 2017-9-14 06:44
数值计算商 A(n) = (1^n+2^n+...+n^n)/(n^n)可以用连分数表示吗？

很好的想法．所论商是有理数，一定可以表为有限连分数．但具体给出其连分数表示可能也不容易．

chaoshikong

今天修改了保存长度算法，改后计算9999^9999只需2秒，但计算99 999^99 999，花掉4分27秒，如果计算 百万^百万，根本就不敢想像，所以看来用更好的算法来计算才是王道，以后去研究！~

王守恩

elim 发表于 2017-9-15 02:38
很好的想法．所论商是有理数，一定可以表为有限连分数．但具体给出其连分数表示可能也不容易．

我们可以用下面的渐近分数两面夹逼接近 A(n)，使两者之间的差无穷小。
3/2，8/5，11/7，19/12，87/55，106/67，193/122，1264/799，1457/921，2721/1720，23225/14681，25946/16401，.....

elim