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数值计算商 A(n) = (1^n+2^n+...+n^n)/(n^n)

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发表于 2017-9-14 07:46 | 显示全部楼层 |阅读模式
已知  lim (1^n+2^n+...+n^n)/(n^n) = e/(e-1).. 计算其数值并不难.

但以下截图表明,对 n = 1000000,   A(n) = (1^n+2^n+...+n^n)/(n^n)
的数值计算十分困难。为此我们忽略了分子中的大部分项。即便如此,
当 n 为一百万时 A(n) 作为 其极限的近似也还是很粗糙。

关于 A(n) 的计算, 有没有较好的算法?

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 楼主| 发表于 2017-9-14 13:03 | 显示全部楼层
天山草先生和各位网友,如何用 Mathematica 数值计算

{(1^n+2^n+...+n^n)/(n^n) } 这个要命的数列?
发表于 2017-9-14 13:32 | 显示全部楼层
意思就是说,算e/(e-1)速度很快,,,

但直接用计算机算(1^n+2^n+...+n^n)/(n^n),当n=1 000 000时,要几十个小时,而且还没有用e/(e-1)精确,是这样吗???
 楼主| 发表于 2017-9-14 14:04 | 显示全部楼层
可以这么说。所以无穷操作未必是绝对的,不可转化的。另外,一种无穷操作与另一种无穷操作也未必可以同日而语。最后,无穷操作与结果是否为变量根本没有必然联系。

点评

因为我没安装任何的数学软件,我可以利用国庆假,自己写个程序来计算一下{(1^n+2^n+...+n^n)/(n^n) },当n达到1 000 000时看看要多久时间,看看精度如何。。。  发表于 2017-9-14 15:58
发表于 2017-9-14 17:19 | 显示全部楼层
随便网上抄了个算法,写了个程序测了一下所需时间,计算10000^10000,都要花掉20多秒,如果1 000 000 ^ 1 000 000那更不得了。。。

也许是我抄的这个算法有问题,改进一下试试看。。。
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点评

谢谢. 计算数学有一个说法,超过多项式时间的算法本质上是不可计算的。  发表于 2017-9-15 06:38
发表于 2017-9-14 21:44 | 显示全部楼层
elim 发表于 2017-9-14 13:03
天山草先生和各位网友,如何用 Mathematica 数值计算

{(1^n+2^n+...+n^n)/(n^n) } 这个要命的数列?

数值计算商 A(n) = (1^n+2^n+...+n^n)/(n^n)可以用连分数表示吗?
 楼主| 发表于 2017-9-15 02:38 | 显示全部楼层
王守恩 发表于 2017-9-14 06:44
数值计算商 A(n) = (1^n+2^n+...+n^n)/(n^n)可以用连分数表示吗?

很好的想法.所论商是有理数,一定可以表为有限连分数.但具体给出其连分数表示可能也不容易.
发表于 2017-9-15 09:30 | 显示全部楼层
今天修改了保存长度算法,改后计算9999^9999只需2秒,但计算99 999^99 999,花掉4分27秒,如果计算 百万^百万,根本就不敢想像,所以看来用更好的算法来计算才是王道,以后去研究!~

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发表于 2017-9-17 12:15 | 显示全部楼层
elim 发表于 2017-9-15 02:38
很好的想法.所论商是有理数,一定可以表为有限连分数.但具体给出其连分数表示可能也不容易.


我们可以用下面的渐近分数两面夹逼接近 A(n),使两者之间的差无穷小。
3/2,8/5,11/7,19/12,87/55,106/67,193/122,1264/799,1457/921,2721/1720,23225/14681,25946/16401,.....

点评

这种逼近如果没有好的算法,收敛得很慢,而且随着 n 的增加计算变得几乎不可能.  发表于 2017-9-17 12:24
 楼主| 发表于 2017-9-17 12:26 | 显示全部楼层
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