lucas猜想的初等证明（mathType整理）

moranhuishou

moranhuishou

有点小毛病，改一下——

moranhuishou

如有人能将证明推翻，奖励九万元人民币
-----置之死地而后生吧。

moranhuishou

关于这个命题的主要讨论帖整理——

一、
Kanyikan:
怎么无人喝彩啊，估计那些人羡慕得都嫉妒了。

moranhuishou

二、
  
天山草：
y^2+2xy-1/6*x(x-1)(2x-1)=0
到上面这一步，推导正确。就是要求这个方程的正整数解。
已知上面这方程有一组解是 x=24，y=46。
下面推出的：
y_1 = a = 2(x-1)                (3)
y_2 = b =-2(2x-1).              (4)
并说：(3),(4)式就是方程的整解式。这个结论不对。
moranhuishou：
怎么不对？   

天山草：
因为 a+b 能够等于方程一次项系数加上负号， 而 a*b 不等于常数项么。

moranhuishou：
问题很好，但这恰恰正是这个命题的关键所在——这不是不等于，而是有条件等于。
您再好好想想这个道理：如果a*b无条件等于常数项了会怎样？

正理

下面引用由moranhuishou在 2011/09/22 03:54pm 发表的内容：
如有人能将证明推翻，奖励九万元人民币
-----置之死地而后生吧。

错误太明显，谁拿你这9万初中生都会骂人。

moranhuishou

下面引用由正理在 2011/09/23 08:48am 发表的内容：
错误太明显，谁拿你这9万初中生都会骂人。

别人都没看出来，就你一个人看出来了，这说明“错误”还不是太明显，你指出来哪里错了，让大家开开眼嘛。
能指出来，九万元少不了。

moranhuishou

elimjiu:
感觉到‘有’，感觉不到‘且仅有’。

Moranhuishou:
答复：慢慢感觉。

elimjiu:
楼主的确证明了 n = 1，24 时有整解。仅此而已。
Moranhuishou:
人的感觉器官的灵敏度是不同的，不着急，你再慢慢“感觉感觉”。
  
elimjiu:
不过看来楼主已经停止感觉那个“证明”的“滑稽”了。
Moranhuishou:
我可以告诉你，这个证明是完全正确的，并且几乎可以肯定，不可能再有超过这个证明的另外的证明了。
但不排除你还有任何人有疑问或不理解，只要好好提出我都会耐心答复的。
你阴阳怪气那是你的问题，我也不奢望会得到你的“支持”。
elimjiu:
没说你没有证明 x = 1,24 是正确的解么。只是拿x 的特殊取值来‘推出’y 两个解的一般形式还是很滑稽的。你‘感觉’不到这一点，所以就说“证明”完全正确了。
本来是想回避评说的。你特别要我说看法，结果是令人不快，也没有什么益处。多有得罪了。
应该肯定： y 是 x 的函数，是系数为 x 的函数的二次方程的整数解，二次方程的根与系数的一般关系这些陈述都是对的，把原问题表达为这种形式来分析也是有创意的。
Moranhuishou:
什么叫x 的特殊取值？你说这话说明你根本就不懂这样方程怎么解：
利用方程的任何一个已知的具体的解都可以推出方程的解式，这是很普通很正常的解法！
你真是少见多怪！
没注意到最后一行，这才是实事求是的看法，非常难得你能这样认为，谢谢！

[y-2(x-1)][y+2(2x-1)] =0
这就是方程的分解式，这个分解式是唯一的，即不可能再有另外的不同的分解式存在了。
你可以这样简单的分析：
所谓分解式，就是必须满足方程的所有解的方程式，所以首先就必须满足已知解例如x=1,x=24时的解，而这个分解式就满足已知解。
假如还有另外的不同的分解式存在，那么它首先就不能满足已知解，也就是它不能满足所有解，所以，这个另外的分解式是不可能存在的！
elimjiu:
非常难得的认为和少见多怪的认为常常凑在一起。 其实忽略忽悠都是不少见多怪的人都行径。
使用了x 的特殊取值，却不知道什么是x 的特殊取值跟不知道那个“证明”有错是有直接关系的。
Moranhuishou:
认真品了品这句话，还确实“感觉”出了点意思：先生是不是以为证明过程用了x=24取值，最后的结果也是24是错误的？如果您这样认为，那么确实是很“滑稽”的，不过这个滑稽不是别的，而是因为这个问题有人一直在提，但我始终没有搭理这档子事，而一直提这事的不是别人，正是上蹿下跳的“任在审”大仙，当然主要的是我认为这根本不是问题。如今先生竟然真的也和大仙“一般见识”，那我就不得不说说这个问题了。
首先，这个解式并不时就是根据x=24得来的，而是根据方程根据（1）（2）及x=1时的解得出的，用到了x=24的解仅仅是为了确定了系数k=2，因为x=1,a=0是平凡解没法确定k值。至于最后解出是什么与此完全是两码事，但谁知道他刚好最后的结果解出的就是x=24，假如还可以解出x等于别的，那么这个解式也同样可以“再创辉煌”，它不会“偷懒”的。可惜的是真的没有其他的解了，这个解式也就没有用武之地了。这一点从第一句话设定的N=x+y就可以看出，这里的y囊括了所有的整数解，一个也漏不了网，当然，最后实际上也就这“俩豆”那谁也没有办法。

moranhuishou

当然，最给力的还是luyuanhong先生的帖子： Luyuanhong: 在第 4 楼的证明中，说到： “对照（2），试令 a=k(x-1)，” 请问：为什么从（2）式 ab=-x(x-1)(2x-1)/6 就能断定必有 a=k(x-1) ? 举个例子，设 x＝25 ,这时有 ab＝-25×(25-1)×(2×25-1)/6＝-25×24×49/6＝-4900 。 完全有可能 a 和 b 都不是 x-1＝24 的倍数。 例如 a＝10 ，b＝-490 ，10×(-490)＝-4900 ， a＝14 ，b＝-350 ，14×(-350)＝-4900 ， a＝35 ，b＝-140 ，35×(-140)＝-4900 ， …… 既然不一定有 a=k(x-1) ，也就不能断定此题没有其他解，“证明”也就无法成立了。 moranhuishou: 我想，陆先生大概看错了: 这个试令是根据（1）（2）两个式子确定的，并且主要是根据（1）确定的，（2）仅仅是参考，所以暂时不能确定k值。 绝不是单单根据（2）式确定的。 x=25时根本没有整数解，不能满足方程，所以你的例子与整数方程无关。 所以，你下面举得数据也没有一个能满足（1）的。 a＝10 ，b＝-490 ，10×(-490)＝-4900 a+b=-480<>-2*x=-2*25=-50 a＝14 ，b＝-350 ，14×(-350)＝-4900 a+b=-336<>-2*x=-2*25=-50 a＝35 ，b＝-140 ，35×(-140)＝-4900 a+b=-1056<>-2*x=-2*25=-50 luyuanhong: 那么请问：你是怎样从（1）（2）两个式子确定必有 a=k(x-1) 的呢？ 不能只是说说而已，必须要有一个详细的使人信服的推理过程才行。 moranhuishou: 当然不是说说，是根据方程的解得出来的： 因为 x=1,a=0,b=-2 结合（2）各项，只有（x-1）=0,因为还有其他项，所以再乘以一个未定的k，合情合理。 我想，这正是这个证明的巧妙处之一。 luyuanhong: 我在第 25 楼中问的问题： “那么请问：你是怎样从（1）（2）两个式子确定必有 a=k(x-1) 的呢？ 不能只是说说而已，必须要有一个详细的使人信服的推理过程才行。” 我没有再追问下去，因为到现在 moranhuishou 还没有给出令人信服的解答。 其实，我的问题与天山草在第 67 楼指出的问题也是密切有关的： “y^2+2xy-1/6*x(x-1)(2x-1)=0 到上面这一步，推导正确。就是要求这个方程的正整数解。 已知上面这方程有一组解是 x=24，y=46。 下面推出的： y_1 = a = 2(x-1) (3) y_2 = b =-2(2x-1). (4) 并说：(3),(4)式就是方程的整解式。这个结论不对。 因为 a+b 能够等于方程一次项系数加上负号， 而 a*b 不等于常数项么。” moranhuishou 只是把两个已知的解代入，“推导”出解有这样的形式， 但是方程完全还可能有其他的解，不一定要满足这样的形式。 本题证明的关键，就是要证明不可能有其他的解，moranhuishou 根本没有做到这一点。 moranhuishou： 我觉得我已经把这些问题讲得很清楚了,既然陆先生又问,那不妨在回答一次: 1 那么请问：你是怎样从（1）（2）两个式子确定必有 a=k(x-1) 的呢？ 不能只是说说而已，必须要有一个详细的使人信服的推理过程才行。” 答:已知 a=0 b=-2 x=1是方程的一组解，由 ab=-1/6*x*(x-1)*(2x-1)，可知这几个因子满足条件的只有 （x-1）=a=0,但我们并不能确定b=-1/6*x*(2x-1)，所以加上不定系数k,因为仅仅根据这个条件（a=0）并不能确定k的具体值,但无论k为任何数均有a=k(x-1)而满足条件， 并且得出b=-2x-k(x-1)同样满足所有条件。 因为这个k能满足所有条件，所以设这个k是合理合情的。

moranhuishou

moranhuishou:
我与陆先生的理解的不太一样:
这个方程式关系很清楚，就是y=f(x）
也就是说，完全可以将之视为一个简单的一元二次方程。x是自变量,y是因变量（x的函数）。所以，它只可能有一组（两个）解（式）而不可能再有其他不同的解。
所以（3）（4）就是这个方程的唯一一组解（式）。
请问 moranhuishou
你是怎样从 y^2+2xy-x(x-1)(2x-1)/6=0 推出 ［y-2(x-1)］［y+2(2x-1)］=0 的？
moranhuishou:
推导过程就在证明过程里，把（3）（4）代入
［y-a］［y-b］=0
即可，是否需要再从头演算一遍呢？
由
1^2+2^2+3^2+…+x^2=1/6*x(x+1)(2x+1)=N^2=(x+y)^2=x^2+2xy+y^2
得一元二次方程

y^2+2xy-1/6*x(x-1)(2x-1)=0
问题就变成了分解这个方程
而分解式就是
[y-2(x-1)][y+2(2x-1)] =0
因为分解式是唯一的、排他的，即不可能再有不同的其他分解式存在了。
对照二式，问题已十分清晰。
所以此证明不可能有错。
luyuanhong:
moranhuishou 给出的分解式：
[y-2(x-1)][y+2(2x-1)] =0 ，
展开后可得到
y^2+2xy-4(x-1)(2x-1)=0 ，
与一元二次方程
y^2+2xy-1/6*x(x-1)(2x-1)=0
互相对照，两者明明是不一样的。
可见，moranhuishou 的所谓“证明”，是在牵强附会，其实是根本没有道理的！
moranhuishou:
陆先生这样看我就有点惊讶了。
先提示一下：
这恰恰正是本命题的关键之处,如果“一样”了，他会怎么样？
其实这一点在前面68楼回复天山草我已经说的很清楚了，这里再解释一下：
这恰恰正是这个命题的最为关键的地方，一般情况下，一个简单的一元二次方程的分解式与展开式应该是完全“一样”（相等）的，但这并不是一般的方程式，在这个命题中，分解式如果和展开式无条件的“一样”（相等）了，那是什么情况呢？那就是x取任何值这个方程都成立，而这个命题证明的是只有个别的x值才能成立，也就是说，分解式与展开式“一样”（相等）是受条件限制的，他们是有条件相等而绝不是无条件相等。
而这个条件不是别的，正是必须有x=24，这样也只有这样才正好证明了本命题。
不客气地说，这是非常精彩的。