数列{an}的前 n 项和 Sn=2^n ,数列{bn}满足 b1=-1 ，bn+1=bn+2n-1 ，问一些有关的问题

luyuanhong

这是台湾网友 YAG 发表在“陆老师的《数学中国》园地”的一个帖子，

欢迎大家一起来想想如何解答：

天元酱菜院

解： 1） 根据 a(n)= s(n)-s(n-1)= 2^n  - 2^(n-1) =2^(n-1)  ......(n>1)
                     a(1)=s(1)=2

             可见 a(n) 有分段表示：  a(1) =2;      
                                               a(n)= 2^(n-1)  ............  (n >1)

        2)  b(n+1)= b(n) + (2n-1)   = b(1) + ∑(i=1 to n)  (2i-1)   .......(n>1)
                                                = b(1) - n + (n)(n+1) = b(1) + n^2


            可见 b(n) 有分段表示：   b(1) = -1
                                               b(n) = (n-1)^2 -1 = n^2 - 2n .......(n>1)      (或,表成：(n-2)n  )


        3） c(1) =  ( a(1) - b(1)  )/1 = 3;     c(n) =( 2^(n-1) - n^2+2n ) /n   (n>1)

            前n项和： 3+ ∑(i=2 to n)  (  2^(n-1) /n - n+2  )  = 2+ 2n  -  n(n+1)/2  +   ∑(i=2 to n)  (  2^(n-1) /n )
                     

  

luyuanhong

谢谢楼上 天元酱菜院 的解答。但题目有些看错，不是 “cn=(an-bn)/n” ，而是 “cn=(an·bn)/n”。

天元酱菜院

抱歉抱歉，不该不该。