多项式 f(x),g(x) 满足 f(3)=g(3)=11，f(11)=g(11)=17，f(17)=g(17)=-3，选出正确选项

luyuanhong

这是台湾网友 YAG 发表在“陆老师的《数学中国》园地”的一个帖子，

欢迎大家一起来想想如何解答：

天元酱菜院

1)  由于对 f(x)的描述只有三个取得值，并未界定它的阶，f(x) 的自由度太高；
     所以： f(x) = g(x)      不是必然结果
               f(x)=0在3与11之间没有实根   不是必然结果
2） 由于g(x) 是二次多项式（当然连续）， g(11)=17,  g(x)在 x=11的两侧分别有g(3)=11 和  g(17)=-3
             根据连续函数介值定理，g(x) 应在 3到11区间中的某点取得g(3)=11与g(11)=17 之间值 12.
             在 11到17区间中的某点取得g(11)=17与g(17)=-3 之间值12.
             由于二次函数构成的方程最多有2个实根，所以，方程g(x)=12 恰有两个相异实根。
3） 设h(x) = q(x)*(x-11) + L  
       以 x=11代入上式:       左边= g(11).f(f(11))= 17*f(17) =17*（-3）=-51
                                        右边=L.  
      可见h(x) 除以 (x-11) 的余式是 -51

结论： 各项答案中，只有C为真。其他为假

luyuanhong

谢谢楼上 天元酱菜院 的解答。我已将帖子转贴到“陆老师的《数学中国》园地”。