证明：对任何 n∈N ，必有 1+2/(3n-2)≤3^(1/n)≤1+2/n

luyuanhong

这是台湾网友 winnie 发表在“陆老师的《数学中国》园地”的一个帖子，

欢迎大家一起来想想如何解答：

波斯猫猫

显然，至少有n=2。

王守恩

波斯猫猫 发表于 2019-4-28 22:17
显然，至少有n=2。

顶一下！

luyuanhong

王守恩

luyuanhong 发表于 2019-5-19 11:12

说得不好，欢迎大家批评！

luyuanhong

楼上右边的不等式当 n＞1 时确实是成立的，但是左边的不等式不成立，例如：

n=2 时，n/(n-1)=2/(2-1)=2＞1.732…=√3 。

n=3 时，n/(n-1)=3/(3-1)=1.5＞1.442…=3^(1/3) 。

n=4 时，n/(n-1)=4/(4-1)=1.333…＞1.316…=3^(1/4) 。

n=5 时，n/(n-1)=5/(5-1)=1.25＞1.245…=3^(1/5) 。

王守恩

luyuanhong 发表于 2019-5-19 18:21
楼上右边的不等式当 n＞1 时确实是成立的，但是左边的不等式不成立，例如：

n=2 时，n/(n-1)=2/(2-1)=2 ...

谢谢陆老师！要不我们作点限制：n>6，因为这不等式有点诱人(3可以改>3的任意数)。

波斯猫猫

波斯猫猫 发表于 2019-4-28 22:17
显然，至少有n=2。

原来是存在性命题，今天改成全称性命题。

王守恩

luyuanhong 发表于 2019-5-19 18:21
楼上右边的不等式当 n＞1 时确实是成立的，但是左边的不等式不成立，例如：

n=2 时，n/(n-1)=2/(2-1)=2 ...

谢谢陆老师！这样可以吗？因为这不等式真有点诱人(3可以改>3的任意数)。

luyuanhong

楼上的推理基本上正确。但是还需要补充：

（1）当 n=1 ，n=2 时，不等式 3n/(3n-2)＜(n+1)/n 不成立，这两种情况要排除。

（2）为什么有 3^(1/n)＞(n+1)/n ？ 要给出证明。