用四个不同的字排成十个字的字串，左右倒写相同者，视为同一字串，有几种不同的字串？

luyuanhong

这是台湾网友 YAG 发表在“陆老师的《数学中国》园地”的一个帖子，

欢迎大家一起来想想如何解答：

luyuanhong

题  用四个不同的字排成十个字的字串，左右倒写相同者，视为同一字串，有几种不同的字串？

解  先不考虑 “倒写相同，视为同一” 的问题。

    10 个字的字串，因为每一位都可以写 4 种不同的字，所以共有 4^10=1048576 种不同的字串。

    下面统计在这 1048576 种字串中，左右对称的字串有几种：
   
    因为这样的字串，右边 5 位与左边 5 位对称，所以只要考虑左边 5 位就可以了。

    左边 5 位可以有 4^5=1024 种不同的字串，所以左右对称的字串有 1024 种。

    从总数减去上述左右对称的字串数，可知左右不对称的字串有 1048576-1024=1047552 种。

    凡是左右不对称的字串，左右倒写后，必定成为另一字串，按照本题的规定，左右倒写相同者，

视为同一字串，所以在本题中左右不对称的字串数，必须除以 2 ，只能算是 1047552/2=523776 种。

    再加上不需要除以 2 的左右对称的字串数，本题要求的不同字串总数为 523776+1024=524800 种。

王守恩

luyuanhong 发表于 2017-10-10 21:32
题  用四个不同的字排成十个字的字串，左右倒写相同者，视为同一字串，有几种不同的字串？

解  先不考虑 ...

题目： 用m个不同的字排成n个字的字串，左右倒写相同者，视为同一字串，有S(m,n)种不同的字串。
一般地，我们有
1，当n是偶数，m可以是任意数。S(m,n)=(m^n+m^(n/2))÷2
2，当n是奇数，m可以是任意数。S(m,n)=(m^n+m^((n+1)/2))÷2