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用四个不同的字排成十个字的字串,左右倒写相同者,视为同一字串,有几种不同的字串?

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发表于 2017-10-10 20:15 | 显示全部楼层 |阅读模式
这是台湾网友 YAG 发表在“陆老师的《数学中国》园地”的一个帖子,

欢迎大家一起来想想如何解答:


2017101010345537492.gif
 楼主| 发表于 2017-10-10 21:32 | 显示全部楼层
本帖最后由 luyuanhong 于 2017-10-10 21:34 编辑

  用四个不同的字排成十个字的字串,左右倒写相同者,视为同一字串,有几种不同的字串?

  先不考虑 “倒写相同,视为同一” 的问题。

    10 个字的字串,因为每一位都可以写 4 种不同的字,所以共有 4^10=1048576 种不同的字串。

    下面统计在这 1048576 种字串中,左右对称的字串有几种:
   
    因为这样的字串,右边 5 位与左边 5 位对称,所以只要考虑左边 5 位就可以了。

    左边 5 位可以有 4^5=1024 种不同的字串,所以左右对称的字串有 1024 种。

    从总数减去上述左右对称的字串数,可知左右不对称的字串有 1048576-1024=1047552 种。

    凡是左右不对称的字串,左右倒写后,必定成为另一字串,按照本题的规定,左右倒写相同者,

视为同一字串,所以在本题中左右不对称的字串数,必须除以 2 ,只能算是 1047552/2=523776 种。

    再加上不需要除以 2 的左右对称的字串数,本题要求的不同字串总数为 523776+1024=524800 种。
发表于 2017-10-14 15:58 | 显示全部楼层
luyuanhong 发表于 2017-10-10 21:32
题  用四个不同的字排成十个字的字串,左右倒写相同者,视为同一字串,有几种不同的字串?

解  先不考虑 ...

题目: 用m个不同的字排成n个字的字串,左右倒写相同者,视为同一字串,有S(m,n)种不同的字串。
一般地,我们有
1,当n是偶数,m可以是任意数。S(m,n)=(m^n+m^(n/2))÷2
2,当n是奇数,m可以是任意数。S(m,n)=(m^n+m^((n+1)/2))÷2

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