证明：对任意 n 阶复方阵 B ，有 (sinB)^2+(cosB)^2=I

luyuanhong

[这个贴子最后由luyuanhong在 2011/11/16 05:22pm 第 1 次编辑]

随便112

哦 谢谢lu教授，可不可以用欧拉公式呢

随便112

我想用这个 可以吗？sinA=(e^{iA}-e^{-iA})/(2i),cosA=(e^{iA}+e^{-iA})/2
还有一种思路，A=PJP^(-1)
sinA = P sinJ P^(-1) cosA = P cosJ P^(-1)
then （sinA)^2+(cosA)^2=P sinJ P^(-1)P sinJ P^(-1)+ P cosJ P^(-1) P cosJ P^(-1)
= P (sinJ)^2 P^(-1)+ P (cosJ)^2 P^(-1)
=PEP^(-1)=PP^(-1)=E

lu教授看看这两个思路行吗？

luyuanhong

[这个贴子最后由luyuanhong在 2011/11/17 11:05am 第 1 次编辑]

下面引用由随便112在 2011/11/16 09:30pm 发表的内容：
我想用这个 可以吗？sinA=(e^{iA}-e^{-iA})/(2i),cosA=(e^{iA}+e^{-iA})/2
还有一种思路，A=PJP^(-1)
sinA = P sinJ P^(-1) cosA = P cosJ P^(-1)
then （sinA)^2+(cosA)^2=P sinJ P^(-1)P sinJ P^(-1)+ P cosJ P^(-1) P cosJ P^(-1)
= P (sinJ)^2 P^(-1)+ P (cosJ)^2 P^(-1)
=PEP^(-1)=PP^(-1)=E
lu教授看看这两个思路行吗？

如果 A 能相似于一个对角阵，这样做是可以的，但是，如果 A 不能相似于一个对角阵，这样做就不行了。

随便112

那lu教授能否直接套欧拉公式呢？

luyuanhong

[这个贴子最后由luyuanhong在 2011/11/17 03:22pm 第 1 次编辑]

下面引用由随便112在 2011/11/17 11:46am 发表的内容：
那lu教授能否直接套欧拉公式呢？

我在第 1 楼中的做法，就是按照公式
sinA＝[e^(iA)-e^(-iA)]/2i ，cosA＝[e^(iA)+e^(-iA)]/2
来做的。