二○○九年我与许寿椿教授的几次通信（二）

雷明85639720

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二○○九年我与许寿椿教授的几次通信（二）
雷  明
（二○一七年九月二十四日）
8、是4—连通还是3—连通：
许教授在书中第50页的“为什么例图中没有选入三连通极大平面图？”问题下，有这么一段话：
“任意一个三连通极大平面图能够通过对四连通极大平面图做如下操作变换而得到：
“（1）在某一个四连通极大平面图H的一个面中加上一个三次点。具体的说，例如，在图H的一个三角形面（a，b，c）中加上一个节点u，再将节点u与节点a，b，c相联结，这样就得到一个节点个数加1，连通度为3的极大平面图，我们把它记为图S。如果四连通极大平面图有一个四着色，节点a，b，c用了三种颜色，只要把第4种颜色用于节点u，三连通极大平面图S的一个四着色就得到了。
“（2）把两个四连通极大平面图H1，H2拼在一起。具体的说，例如，先把图H1的某一个有限面f3（不妨设为是三角形（a，b，c））画成直线三边形，而把图H2完全用直线段画出（依据定理2.4，不妨设此时图H2的无限面的边界为三角形（u，v，w））；再把整个图H2嵌入到图H1的直线三边形f3中，使节点u，v，w分别与节点a，b，c重合。这样拼出一个新的三连通极大平面图，我们记之为S。当两个四连通极大平面图H1，H2都已经四着色时，只要调整图H2上的颜色编号，使得节点u，v，w的颜色分别与节点a，b，c的颜色一一致，新的三连通极大平面图S的四着色就得到了。
“已经证明，从全部四连通极大平面图，经过上述两个操作（一次或若干次），能够变换出全部三连通极大平面图。因而只要四连通极大平面图能够四着色，三连通极大平面图也能够四着色。”
第一点（1）说的是对的，在极大平面图的一个三边形面中增加一个3度顶点，这个图就变成了一个3—连通图。这个图一定得用4种颜色着色，并不管原来的四连通极大平面图是否是4—着色。

第二点（2）说得就不对了，请看图7。图7，a就是书中的图g6A（即H2），图7，c就是书中的图g8A（即H1），两图都是4—连通极大平面图，把两图的顶点4，5，6分别重合后拼出一个新图图7，d（也可以看成是H1∪H2），这就是上面所说的记为S的图，但这个图仍是一个4—连通平面图。并不会变成3—连通平面图。这个S图却能够3—着色，不需要4种颜色。
从以上两点分析可以看出，书中所说的“已经证明，从全部四连通极大平面图，经过上述两个操作（一次或若干次），能够变换出全部三连通极大平面图”的结论就是错误的。而后面的“因而只要四连通极大平面图能够四着色，三连通极大平面图也能够四着色”的这句话就成了多余的了。对于上面的变换（1）来说，由一个4—连通平面图变成一个3—连通平面图，这时所增加的那个顶点和它所在的3—边形面就构成了一个K4团，图本身就变成了一个密度是4的图了，必须用4种颜色着色，与原来的4—连通平面图着色时用了几种颜色耗无关系；另外，图6中的两个图图g6A和图g8A分别都能用3种颜色着色，而g6A∪g8A却也能用3种颜色着色，并不需要4种。这是因为这三个图的密度都是3，其顶点的度都是偶数，偶轮着色只要3种颜色就够了。当然了，所选用的两个图只要有一个图得用4种颜色着色时，那么S（H1∪H2）着色就只得也用4—种颜色了。
（书中其他的图有没有错，笔者也不可能全部一一检验，特别是顶点较多的g59和其对偶图D114（D（g59）等。这个加德纳地图我起先只是发现图中存在着一个4度的顶点，又出于好奇心，把图中的顶点又数了一下，这一数，和后面的文字说明中就有了出入，才促使我进一步的深纠，发现了其中存在的问题。）
9、其他问题：
书中的有些图很明鲜是3色图，但都用四色处理了，这是不符合着色原理的。如书中图3.7中的g6A图和g8A图，他们的密度都是3，图中也不含有奇轮，一定是能用3种颜色着色的，但书中却用了4种。
10、书中存在印刷和稿件笔误之处太多：
（1）第7页的“图1.4  塔特反例图T（或D（g25T）”中，多了一个2度顶点（见本文中的图6），使得本来是D46的图的顶点数变成了47，应去掉；
（2）第9页的倒数第1行，“图1.7共含7个分图”应为“图1.7共含6个分图”；书馆
（3）第30页的第8行最后一句，“在分图（b）中就是粗黑线组成的圈”，应为“在分图（b）中就是粗红线组成圈”，印刷时图中加了颜色，也就应及时的把文字也进行修正；
（4）第36页的“图2.14  四着色的直观表示和数字化表示”中的（c）图，给顶1、9、11、13的前面应冠以黄色的◆符号，而给顶点2、4、6前面则应冠以红色的▲符号，这样不但使得图2.14（c）和图2.14（b）的各顶点用色相一一致，也就和后面第74页的图4.1以及该图的文字说明与表4.1相一致，给读者创造一个良好的阅读条件；
（5）第37页倒数第9行的第一句，“按四着色的含义”应为“按着色的含义”，因为只要是着色，两相邻顶点就不能用同一颜色，不光只是四着色有这样的要求；
（6）第40页的图2.16中的（c）图，顶点3、4和顶点4、5 间的两条边｛3，4｝和｛4，5｝应改成粗红线；
（7）第41页的第7行，“极大平面图中的树（连通而无圈图）”，这句话不妥。是极大图，图中所有面均是3—边形，包括外部的无限面也是一样。极大图中是不会有树出现的，括号中的注解“连通而无圈图”更是错的，极大图全是3—圈，不可能没有圈；
（8）第42页的倒数第1行中的eij应是e12；
（9）第44页的第1行最后一句，“三角形是最小偶圈”应为“三角形是最小奇圈”，三角形的边数是3，3是一个奇数，所以“三角形是最小奇圈”；
（10）第46页的第7行中，“我们处理的最大图是加德纳的那个个难四色图，该图含有110个节点（去一个3次点，余109个节点）”，应改为“我们处理的最大图是加德纳的那个难四色图的对偶的极大平面图，该图含有113或者115个节点”；
（11）第49页的表3.1中，例图g8A的点次序列应是4464而不是4454；例图g9B的点次序列应是455262而不是425262；例图g25b的连通性应是“五连通”，而不是“四连通”；g109的点次序列应是42518687101141（有一条平行边）或43517687101131（去掉了平行边），而不是4351868571101131；表3.1下面正文第2行“因为g25Tutte的连通度仅仅为3”应改为“因为g25Tutte的连通度仅仅为4”；
（12）第51页中的图3.3的D46a图少画了一条边，使图中少了两个5—边形面，而多了一个8—边形面；倒数第2行中“极大平面图g25Tutte的连通度仅为3”应改为“极大平面图g25Tutte的连通度仅为4”；
（13）第52页中的图3.4的图g56中少了两条边，一条是｛6，18｝，另一条是｛34，38｝；
（14）第53页正文第2行后部的“为85个”应改成“为87个”；第3行中的“78%”应为“约80%”；倒数第6行，“E：＝｛｛1，2｝，｛1，3｝，｛1，3｝，｛1，4｝……｝”应为“E：＝｛｛1，2｝，｛1，3｝，｛1，5｝，｛1，4｝……｝”；
（15）第54页中的图3.6中的顶点74下面的“51”可能是多余的，不知道是什么意思；
（16）第55页中的表3.2中的“实验次数”，“成功次数”，“成功率”的概念不太明确，何为成功，何为不成功。不成功是因什么所致，是程序错了吗，还是人输入数据时不准确。计算机对同一个图的处理结果应是相同的， 为什么有的成功了，有的又没有成功呢。
（17）第59页中的图3.8中的图g8B的Gb中少画了一条绿★和红▲链上的｛4，7｝边；
（18）第61页中的倒数第4行后面的“而p11为：4，2，9，15，8，7，6，12，17，21，19”应为“而p11为：4，3，9，15，8，7，6，12，17，21，19”；
（19）第63页中的第1行中，“其上节点为1，4，13，14，15，6”应为“其上节点为1，4，13，16，15，6”；
（20）第66页中的第13行中，Heawood的图“图g25b有284个不同的树—树分解（参见定理5.1和表5.1）”，而在第114页的表5.1中，图三次平面图D（g25b）的哈密顿圈数为264，按定理5.1，图D（g25b）的哈密顿圈数与其对偶极大平面图g25b的树—树分解数应该是一一对应的，即相同的，可这里二者却不同，也不知那一个是对的，另外，在后面的第127页倒数第2行的又有“图g25b对偶的平面三次图D（g25b）有284个哈密顿圈”的说法，道底那一个是对的呢；
（21）第67页中的表3.4中，例图g9B的三元分解类型特性码中Gc应为v（Cv）p，而不是v（Cv）p；
（22）第69页中倒数第3行最后的“和40，51，”应为“和40，51，17，”；
（23）第70页中倒数第6行中“例图g109有85个6次节点，6次节点占全部节点的78%”，应为“例图g109有87个6次节点，6次节点占全部节点的约80%”；
（24）第75页中倒数第2个二色交换中，颜色1兰●、颜色2绿★应为颜色3黄■、颜色4红▲，而颜色3黄■、颜色4红▲则应为颜色1兰●、颜色2绿★，以与上文用色相一致；
（25）第80页中的表4.1中，四着色7中，V2应由｛2，10，12｝改为｛4，6，8｝，而V4则应由｛4，6，8｝改为｛2，10，12｝；四着色8中，V2应由｛2，4，12｝改为｛6，8，10｝，而V4则应由｛6，8，10｝改为｛2，4，12｝；四着色10和11 中，V1均应由｛1，8，10，12｝改为｛9，11，13｝，而V4则均应由｛9，11，13｝改为｛1，8，10，12｝；改不改虽没有什么区别，但前后文用色一致将有利于读者阅读；四着色1至4我已校过了，没有错的地方；四着色12至四着色20，均因画图及二色变换太麻繁而没有进行核对；
（26）第83页中的表4.2中，例图g8B奇着色数是1而不是0；
（27）第98页中图4.9上面第5行最后一个“K26”应为“K24”；
（28）第103页中的表4.8中，例图g25b的连通度应为5，而不是4；g25Tutte的连通度应为4，而不是3；
（29）第105页倒数第15行最后一句，“看上去不象图g9A和图g12A（见图3.8）那样有规则”，应为“看上去不象图g9A（见图3.9）和图g12A（见图3.8）那样有规则”；
（30）第109页的第14行，例图g109的点次序列是43517687101131（不计平行边）或42518687101141（计算平行边），而不是43518685101131；最后一行的“例图g109的大于6次的节点只有3个”，应改为“例图g109的大于6次的节点只有2个”；
（31）第116页的图5.4的（b）和（c）图D（g6A）中均少画了一条顶点5到顶点6的边｛5，6｝；同页的图5.5的（a）图g9B中少画了一个指示： ，并在箭头上要标出pa字样；图5.5的（b）和（c）中的Ha和Hb应相互对调，以与后面的表5.4对应起来；
（32）第117页的图5.6（a），向上箭头下面的“veCvp”应改为“veCve”；
（33）第119页的第1行前面的“表5.2”应为“表5.3”；第4行，“偶数数对只有（20，26），（14，32），（8，36）三种”，应为“偶数数对只有（20，26），（14，32），（8，38）三种”；第8行的“（见图5.3（c））”应为“（见图5.5（c））”；表5.4下面一行，“表中第一行给出的……”，应为“表中第五行给出的……”；
（34）第124页中倒数第5行，“RC是树，包括两个4次节点”应为“RC是树，含有3次节点，4次节点和5次节点各一个”；例数第3行，“Gk中总共出现5个子图高次点”应为“Gk中总共出现6个子图高次点”；
（35）第125页中图6.1的（a）图中有一个面中的“d，11”应为“h，8”；
（36）第128页的第3行，“：（4，32），（12，34）”应为“：（4，42），（12，34）”；
（37）第129页中图6.2的例图g7A和g9B中的奇次点绿★应画在相应的顶点处，不应画在别的边上。
可能还有错误，我一下子还没有看出来。建议许教授对此书进行重新修订，重新再版，让它的质量更高，引来更多的读者。
以上所提意见只是个人的看法，不一定正确，请许老师批评指正。

金堆城钼业公司已退休高级工程师教育处处长
雷  明
二○○八年十二月二十日至二○○九年元月十三日于长安清凉山

注：此文已于2009年3月7日在《数学中国》网站上发表，并发给了许寿椿教授的电子信箱。

在发出时，我给许教授写了这样的短信：

许教授:你好!
    我把我对你的书中有些问题的看法发给你,请批评指正.
                     雷  明
                   2009年3月7日

许教授收到我的文件后，立即来短信：

谢谢您的来件.我已经发现书中的十多处差错.包括您指出的加德纳难四色图原图及对偶图中的差错.您说的其他差错,待我认真拜读后,再回复.无论如何,都感谢您的来件.许.09-03-07.22:55.

紧接着我去了又一封短信：

许教授:
    你的书的却很好,我希望修订后再版.我可能说得太直接了一点.我是一个非数学人员,批评得不对,就请指出.
                      雷  明
                       2009,3,7.

许教授的正式回复如下：

雷 明先生：您好？
今天认真读了您的来件。首先感谢您，查出了我书中的许多差错。我可以确认：您的5 和10 两节里，给我找出约30个差错，其中有一半是您第一次指出的，非常感谢。也为这些差错给您和其他读者带来的麻烦表示歉意。
关于加德纳难四色图，我最初用的是从一本普及读物上复制的，后来发现此图有误，找原文，换成正确的。但写此书时已经是几年之后，却把错误的图交出了。正确的图应该如下（为了方便，就引用您来件中的一个，加标注，说明）。图中用小红圆圈标记的线段（4条）都应该删除，标记颜色的区域，对应其对偶图里的三次点，在对偶图里也被删去。因而在下图里，它不必编号。此时无限面也对应三次点，实际上也无须编号。这样在54页里的图g109，只要删掉一条重边（连接90~108），再删掉74号点傍边的51，就对了。
您在您的文件第10节里指出的，大部分确实是我书里的差错。感谢您能这样认真、仔细地审查我的书。您对图形、数码信息的敏感，对不同位置，但相关联事项的记忆清楚，您的严格、细致，都令我敬佩，给我深刻印象。我想书再版时，送您一本新书，以略表谢意，也请您再予批评审查。请告知您的邮政地址以备用。或者在您更换信箱时，请及时告知，以便今后保持联系。
我也不能不直率地跟您说，您在除去5和10节以外的各节里所说的，基本上我都无法认同。您在这些地方给我另外一种印象，不再是认真、严谨，而是逻辑推理中疏漏太多。您轻率的否定了许多被学术界公认的事实。特别如：Heawood反例图的含义，希伍德给出的高阶曲面着色数Mp的公式的研究结果，等等。您所强调的、坚持的恰恰和事实完全相反，和公认的结论完全相反。这些东西都不只是您和我，或者与何宗光先生之间的争论。...关于连通度，您的意见不正确。图g25b  和图 g25Tuute的连通度是4和3。这没有问题。请您看65页图3。13之左上图。节点集合3，4，15，10四个点，构成一个分离集合。删除这四个节点，图就变得不连通。这表明图g25b的连通度不可能大于4，不可能是您所说的5。您可以自己再在图上找找看，还容易找到另外的两个4分离集合。我相信您应该会找得到的。图 g25Tuute的连通度可做类似分析。您可以用7页图1。4自己分析一下看。我觉得您对于连通度，在概念上，可能有什么不对的地方。...这些话，请恕我直言。

您为我的书指错，我非常感谢您。想知道您的一些详细情况。我看您虽然退休，但您的思维、分析力还是非常敏捷、清晰的。您在我的书里找出这么多差错，说明您对数值、图形等许多具体数学对象的细节分析力十分了得。有人说“细节决定一切”。很令我佩服。请您发挥特长的同时，能注意调整自己的大方向。我书里写给那位四色爱好者的话，就是您摘引了表示异议的话，仍然请您三思。您所说的“Heawood的图不能4—着色的说法已经统治了一百多年，。。。”实际上是“一百多年来，Heawood图一直是Kempe证明的 反例。这是学术界普遍认同的，在大量、多种图论教材、专著中都是如此。把它误解为是四色定理的反例，仅仅是少数人的误解”。
非常感谢的的指错。顺祝健康快乐。许寿椿。09-03-08。

给许寿椿教授的回信
雷  明
（二○○九年三月九日）

许教授:
来件收到。

1、你指出的我把图的连通度的概念没弄清是对的，我是把其与图的最小度搞混了，连通度应是若要把图变为不连通时，至少要从图中取掉顶点的最少个数。这实际就是图的所有断裂集中最少元素（顶点）的个数。谢谢你给我提出。
2、看来加德纳图你只去掉那几条边还是不行的，还应把我文图1中的面110和面111全取掉，也才能成为我文中的图5，这才是由你的g109图对偶过来的加德纳地图（如本文中上面的图），图中包括无限面共110个。只有这样，在你去掉Ⅰ面后，才能保证图中有109个面。我认为这个不过我认为这个面去不去对着色是没有什么影响的。由于图中含有奇轮，所以色数一定是4，该面有没有，该图的色数都是4。
3、我也直说了，你们数学界的人总是在一个匡子里转，不敢向外迈出半步。我这也直截了当，我想你不会有意见吧。
雷 明
2009，3，9。

（未完，接下贴）

雷明85639720

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