[求助]又来请教陆老师一个问题，关于多元函数微分的，麻烦老师啦~

傻瓜学者

今天做题，是有关多元函数微分或偏导的概念的。题目本身没有问题，后面有一个为了应试而做的图，是各个性质的充分必要关系。我对其中两点关系不太理解，想请教陆老师。 第一个是： “f(x,y)在P(x0,y0)点沿任意方向都存在方向导数”---->“f(x,y)在P(x0,y0)存在偏导数” 即：前者是后者的充分非必要条件。 后者推不出前者是显然的，但我觉得前者也未必能推出后者。 因为方向导数的定义是△x-->0+，换句话说，方向导数其实是射线，不是切线，可以用“顾前不顾后”来形容。 比如有二元函数 z=f(x,y)=|y| 那么在(0,0)点，任意方向导数都存在，但y的偏导数就不存在。 第二个是： “f(x,y)在P(x0,y0)点沿任意方向都存在方向导数”<--×-->“f(x,y)在P(x0,y0)连续” 即：前者后者没有关系 后者推不出前者我是能够理解的，因为回想起陆老师以前指导过我的一个问题：“存在这样的函数：函数在某点连续，但在该点的导数为∞” 但前者推不出后者我就不能理解了。首先方向导数存在说明函数在该点有定义。我知道连续的要求是从任意方向逼近P(x0,y0)都要等于f(x0,y0)，那么既然在任意方向都存在方向导数了，为什么它还会不连续呢？ 我百思不得其解，在此请教陆老师了，谢谢！

天山草

下面引用由傻瓜学者在 2011/12/07 09:44pm 发表的内容： 第二个是： “f(x,y)在P(x0,y0)点沿任意方向都存在方向导数”<--×-->“f(x,y)在P(x0,y0)连续” 即：前者后者没有关系 但前者推不出后者我就不能理解了。首先方向导数存在说明函数在该点有定义。

“导数存在说明函数在该点有定义。”——这个说法不对吧？ sin(x)/x 在零点可导（导数为零），但是在零点就没有定义（虽然可以人为地定义其为 1）。就是说，y(x)=sin(x)/x 这个函数的曲线在零点处“破了一个洞”。同样的，对于二元函数来说，就是“曲面上破了一个洞”，在这个洞处函数没有定义，但是若破洞处的曲面是“光滑”的，就可能在任意方向上都存在有方向导数。 不知说得对不对？请陆教授仲裁。

天山草

下面引用由傻瓜学者在 2011/12/07 09:44pm 发表的内容：
第一个是：
比如有二元函数 z=f(x,y)=|y|
那么在(0,0)点，任意方向导数都存在，但y的偏导数就不存在。

“在(0,0)点，任意方向导数都存在”——这么一个被台风吹掉的屋顶，在零点处会“任意方向导数都存在”？

luyuanhong

下面引用由傻瓜学者在 2011/12/07 09:44pm 发表的内容：
第一个是：
“f(x,y)在P(x0,y0)点沿任意方向都存在方向导数”---->“f(x,y)在P(x0,y0)存在偏导数”
即：前者是后者的充分非必要条件。
后者推不出前者是显然的，但我觉得前者也未必能推出后者。
因为方向导数的定义是△x-->0+，换句话说，方向导数其实是射线，不是切线，可以用“顾前不顾后”来形容。
比如有二元函数 z=f(x,y)=|y|
那么在(0,0)点，任意方向导数都存在，但y的偏导数就不存在。

你对方向导数的理解不正确。第一个问题解答如下：

luyuanhong

下面引用由傻瓜学者在 2011/12/07 09:44pm 发表的内容： 第二个是： “f(x,y)在P(x0,y0)点沿任意方向都存在方向导数”<--×-->“f(x,y)在P(x0,y0)连续” 即：前者后者没有关系 后者推不出前者我是能够理解的，因为回想起陆老师以前指导过我的一个问题：“存在这样的函数：函数在某点连续，但在该点的导数为∞” 但前者推不出后者我就不能理解了。首先方向导数存在说明函数在该点有定义。我知道连续的要求是从任意方向逼近P(x0,y0)都要等于f(x0,y0)，那么既然在任意方向都存在方向导数了，为什么它还会不连续呢？

第二题解答如下：

傻瓜学者

这几天我上自习比较晚，虽然回来赶紧看了陆老师的解答，但我的理解时间加上自己想的时间比较长，就没能及时回复您。很不好意思！

首先还是非常感谢陆老师详细的指点。也要谢谢天山兄的帮助。
我再请教一下陆老师：
关于第二个问题，我认真看了您的详细过程，我想我理解了。
关于第一个问题，同济大学的《高等数学·第五版》下册中确实写的是t->0+，而且在后面还特意举了一个例子：若f(x,y)沿着i方向有方向导数，那么x的偏导未必存在。这不正是说明方向导数是单方向的了吗？
我在维基百科也查了一下，它也在方向上有一个箭头标志，应该是代表单方向了吧？
是我没有理解对吗？

当然如果按照您的定义，那么“f(x,y)在P(x0,y0)点沿任意方向都存在方向导数”---->“f(x,y)在P(x0,y0)存在偏导数”就是非常好理解的了。我自己举的z=|y|的例子正是想到了3楼的那个图。

另外我觉得天山草在2楼的回答似乎有点问题：
我觉得若sin(x)/x在零点可导，则它在0点必须要有定义，哪怕是人为加上的。若曲线在某点“破了一个洞”，它都不连续了，怎么还能“导”？