可否如下证明0.999……＝1

春风晚霞

根据zkyllcjl 先生13楼的贴文“我没有说0.999……<1”，我认为zkyllcjl 先生也就承认了0.999……＝１是正确的（因为数有三歧性，先生既然“没有说0.999……<1”，当然也不会说“0.999……>1”了）。只可惜先生最后又说“变数不能作为定数理解。等式 0.999……＝1不成立。”原以为已取得基本一致，想不到又回到分歧的起点。由此看来我与zkyllcjl 先生的分歧不是“0.999……<1”与“0.999……＝１”的分歧，而是“定数”与“数列性变数”的分歧。那么什么是“数列性变数”呢？zkyllcjl 先生是这样定义的“0.999…… 也是无穷数列0.9，0.99，0.999，……的康托尔基本数列的简写，它是无穷数列性质的变数，它的极限是1， 这个数列无限接近于1。”（参见先生在２楼的贴文）其实先生的“数列性变数”的定义本身就是错误的。错误的原因在于①混淆了“数”与“数列”的概念，用集合的语言讲数列是具有某种性质的数的集合，而数列中的每一项（数）只是这个集合中的一个元素。古人把“白马非马”视为诡辩，如用集合的观点看“白马非马”恰为真理。因此“0.999…… 也是无穷数列0.9，0.99，0.999，……的康托尔基本数列的简写”的提法是错误的。因为0.999……既不是这个数列本身，也不是这个数列中的某一特定项，所以无论怎样简写都不可能把一个数列（具有某种性质的数的集合）简写成一个数。“0.9，0.99，0.999，……是康托尔基本数列”不假，但康托尔基本数列并不唯一。如按“四舍五入法”我们又可得到0.999……的又一个“康托尔基本数列”1.0，1.00，1.000，……；不难看出这一数列中的各项与0.999……的近似程度比数列0.9，0.99，0.999，……中各项与0.999……的近似程度还要好得多。我不知先生为什么不把０.999……作为1.0，1.00，1.000，……这个“康托尔基本数列的简写”②在现行实数体系中定数与变数的区别主要在于人们在观察和处理过程中是否发生变化，仅就0.999……而言，不管先生是在哪个年代，哪一天，哪一时刻观察处理它都是小数点后边无穷无尽个９，它决不出现今天的无穷无尽就比昨天的无穷无尽多一些或少一些，这就是我所说的0.999……在任何时候都是0.999……。像√２、√３、π、ln5、……这些数须要用无限不循环小数来表示的数（注意只是表示），它们本身依然是实数并且是定数。现代实数体系（康托尔、戴德金、威尔斯特拉斯三大标校准分析的实数理论和鲁滨逊的超实数理论）中：0.999……、√２、√３、π、ln5、……都是实数并且是定数，至于在你的“jzkyllcjl氏实数理论”体系中是不是定数的问题，还是等你的“jzkyllcjl氏实数公理”“经过人类长期反复实践的考验和社会上多数人公认”后再说吧。（请参见《中华辞海》公理词条）
最后说说康托尔实数定义中无穷数列0.9，0.99，0.999，……和无穷数列1.0，1.00，1.000，……；都是康托尔基本数列并且它们彼此等价，归并为同一类后得到的就是单元集{１}，所以0.999……＝１。

jzkyllcjl

第一，康托尔实数定义中无穷数列0.9，0.99，0.999，……和无穷数列1.0，1.00，1.000，……等价的说法是对的；但两者不同，前者 每一项都小于1，后者每一项 都等于1. 把两者看作 相等 都等于1不妥当。
第二，我们应当尊重实践.0.999……在任何时候都是永远写不到底的事物，不能看作定数。定数都是表示一定大小 能写出的符号，.0.999……不是这样，它的9 是永远写不到底的，所以不能作为定数。近代数学家 康托尔 把 无穷 看作完成了的实无穷的做法 是违背实践的，不可取的。也是有争论的。
第三，√２、√３是定数，但它们无尽小数 表达式 1.4142……，1.732…… 不是定数。{n}不是定数，其中n 才是定数。
第四， 如果你把无尽小数 1.4142……看作定数，那么请问：你的表达式1.4142……，中有没有100个挨着的0？这个问题不是我提出的 。是徐利治在他的著作 自然数列二重性与双相无限性及其对数学发展的影响[A]，《论数学方法学》[C]，2003，490-501 页 写着的“难题”。 请你研究后回答！

elim

写不到底的东西是无底可写,无必要多写的东西. jzkyllcjl 的"写"没有严格的数学意义.

坚决发对 jzkyllcjl 没拉过屎的茅房不存在的谬论.

jzkyllcjl

elim 发表于 2019-6-2 13:41
写不到底的东西是无底可写,无必要多写的东西. jzkyllcjl 的"写"没有严格的数学意义.

坚决发对 jzkyllcjl ...

写不到底的东西是无底可写, 因此就不能它看作定数。

elim

因什么“此”? 畜生不如的jzkyllcjl 连变数概念也要歪曲．

春风晚霞

zkyllcjl 先生在1５#的贴文中向我提出了四个诘问，并为我推荐了徐利治先生的《论数学方法学》，同时责成我“研究后回答！”不过，我认为回答zkyllcjl的诘问，用不着等到研读徐利治先生大作之后，现在就回复于次：
一、康托尔的实数定义并非不妥，既然先生以己认可“康托尔实数定义中无穷数列0.9，0.99，0.999，……和无穷数列1.0，1.00，1.000，……等价的说法是对的”，那么剩下就只有“归并为同一类后得到的就是{１}”的问题了。由于解决这个问题涉及集合的概念、集合中元素的特性和集合的运算；当先生了解这些基础知识后，自然也就明白了康托尔“把彼此等价的基本数列归为一类，每一类称为一个实数，记号【an】 表示与{an} 等价的基本数列类构成的实数是 α，{an} 叫做α 的一个代表。”的说法没有什么“不恰当”的了。
对于0999……＝１，除康托尔实数体系外，戴德金的实数理论（参见格&#8226;马&#8226;菲赫金哥尔茨著《数学分析原理》第一分册第一章　实数Ｐ7——Ｐ9），威尔斯特拉斯实数理论（参见吉林师范大学数学系数学分析教研室《数学分析讲义》第五章实数理论Ｐ129——Ｐ134）都是以严格定义的方式给出了证明。注意，我所说的“严格定义”是指定义项是被定义项的充分必要条件。如果先生肯放下身段，屈尊研读，其中深意也是不难理解的。
春风晚霞对0.999……＝１的证明，只用了小学生都熟知的逐位比较法和初中生都知道的反证法思想，整个证明过程与“数列性变数”、“潜无穷”、“实无穷”等前卫概念没有任何关系。先生既然认可“不存在c使不等式0.999……<c<1成立”，本来就应该认可0.999……＝１是真命题了。但zkyllcjl 先生偏偏以谬制谬，成心对抗，凭空生出一个“数列性变数”幺蛾子来。司马昭之心，路人皆知。先生的 “数列性变数”的创新理念，无非是为0.999……<1的循环论证（即因为0.999……<1，所以0.999……<1的思维方式）打下伏笔。
第二，“我们应当尊重实践.0.999……在任何时候都是永远写不到底的事物，不能看作定数。定数都是表示一定大小 能写出的符号，.0.999……不是这样，它的9 是永远写不到底的，所以不能作为定数。近代数学家康托尔把无穷看作完成了的实无穷的做法 是违背实践的，不可取的。也是有争论的。”
由于“数列性变数”的定义不仅不是严格的数学定义，而且把一个具有某种性质的数的集合定义成一个数这是极端错误的。在这种“马是白马”的逻辑错误下衍生出的“不定数”理论必然错上加错（参见春风晚霞14#贴文）。我们认为所谓定数，应当是数学中取值固定不变的数。如圆的周长和直径的比π，数e，√２……这些在我们观察处理过程中不发生变化的数。前面我们已经证明了1＝0.999……所以0.999……是定数。因此“我们应当尊重实践.0.999……在任何时候都是永远写不到底的事物，不能看作定数”的说法是没有道理的。对于先生的高论，我感到非常奇怪，为什么坚持在感性认识阶段得到的错觉0.999……<1就是“尊重实践”，而主张由近似程度好得多的“四舍五入法”得到的“0.999……＝１”就不算“尊重实践”了？数学哲学上的“潜、实无穷”之争与0.999……是否等于１没有关系，毕竟0.999……既不是无穷大量也不是无穷小量。如果硬要把它和“潜、实无穷”牵扯在一起，那也只与表示0.999……中9的个数的自然数有一点关联。其实就是在鲁滨逊的超实数理论中，也无由无尽小数表示的数如√２、√３……是什么“不定数”之说。
第三，“√２、√３是定数，但它们无尽小数表达式 1.4142……，1.732…… 不是定数。{n}不是定数，其中n 才是定数。”因为数学源于实践，又作用于实践。根据社会实践的需要，人们常需要把像√２、√３、ln5、sin21……这些确定的数表示（注意只是表示）成无穷级数的形式：√２＝１.4142……；√3=1.7320……；ln5=1.6094……；sin21=0.8366……，……虽然这些等式的右端都是无穷无尽的小数，但√２、√３、ln5、sin21……仍然是定数。根据实数域中的数具有对称性（即：若a=b，则b=a）,所以１.4142……＝√2； 1.7320……＝√3； 1.6094……＝ln5；0.8366……＝sin21；……也是定数。
第四，“ 如果你把无尽小数 1.4142……看作定数，那么请问：你的表达式1.4142……中有没有100个挨着的0？这个问题不是我提出的 。是徐利治在他的著作自然数列二重性与双相无限性及其对数学发展的影响[A]，《论数学方法学》[C]，2003，490-501 页 写着的“难题”。 请你研究后回答！”
“把无尽小数 1.4142……看作定数，那么请问：你的表达式1.4142……，中有没有100个挨着的0？”这个问题先生不该问我，你主张1.4142……是不定数，你能得到解答吗？感谢先生为我推荐徐利治先生的《论数学方法学》，不过回答先生的四个诘问，用不着在研读徐先生大作之后。

jzkyllcjl

春风晚霞 发表于 2019-6-3 07:22
zkyllcjl 先生在1５#的贴文中向我提出了四个诘问，并为我推荐了徐利治先生的《论数学方法学》，并要求我“ ...

谢谢你的回答。我虽然认为：1、1/3,√２、√３、ln5、sin2都是定数。但我认为：这些定数的 绝对准十进小数表达达式 是不存在的。例如：第一，无尽循环小数 0.999……只能是1的 针对误差界序列 {1/10^n}的不足近似值无穷数列 0.9，0.99，0.999，……，这个数列是康托尔实数理论中 基本数列，这个数列中的数是有界递增的数列性变数，它不是一个定数，这个数列中的数 都小于1，只有这个无穷数列的极限才是1. 把这个基本数列性质的变数，看作1 是康托尔的张冠李戴性做法，是违背逻辑法则的。
第二，如果使用康托儿的实数理轮，就有无穷数列{1/n} 等于0得结论。这个结论与华东师大 编数学分析上册 中76页说的论述“无穷小量不是一个数，而是一个特殊的函数（极限为0的函数）”矛盾。这样一来，现行数学分析就不成立了。所以，康托儿实数定义必须改革。

elim

jzkyllcjl 的见解都跟屎有较大关系。楼上谬论的逻辑就是：否定 jzkyllcjl 没拉过屎的茅坑的存在性。呵呵

jzkyllcjl

对我20楼的论述，需要正面讨论、回答。不能骂人！  

春风晚霞

zkyllcjl 先生在20#贴文中提出的问题，我分两个层次回答于后：
一、正确认识极限理论中的无穷小量
１、“1、1/3,√２、√３、ln5、sin2都是定数。但我认为：这些定数的绝对准十进小数表达达式是不存在的。”
定数的绝对准十进小数表达式是存在的。“狗屎学派”通过对:0.9，0.99，0.999，……，0.999……9（共n个9），……这个0.999……的不足近似值数列的观察，从而得到 0.999……与1相差一个无穷小量1/n，就以此为据“炮轰”极限论，就以此为据把极限理论说成是“一坨狗屎”。 Zkyllcjl先生也是通过对:0.9，0.99，0.999，……，0.999……9（共n个9），……这个0.999……的不足近似值数列的观察，从而对0.999……＝1表示怀疑，无意间成为“狗屎学派”的帮凶。先生如果通过对0.999……的常规近值（即由四舍五入法得到近似值）{b（n）}：1.0，1.00，1.000，……1.000……0（小数点后边共n个０），……地观察来认识0.999……与1的关系也就不会有“定数的绝对准十进小数表达式不存在”地猜想了。
２、“华东师大 编数学分析上册 中76页说的论述“无穷小量不是一个数，而是一个特殊的函数（极限为0的函数）”
无需查阅华东师大编《数学分析》，任何大学的《数学分析》在首次介绍无穷小量时都有与此类似的说法，但在这句话的后边都有“常数中除0以外没有其它无穷小量”的补充说明。也就是说无穷小量除以0为极限的变量外，也包括常数中的无穷小量0，忽略这一点就将导致“狗屎学派”的“极限不可达性”。
二、用康托尔实数定义证明0.999……＝１
首先约定：为避免下标变量网上表示困难，我把数列通项写成离散函数式，如数列通项记为a(n）、极限采用威尔斯特拉斯“ε－Ｎ”语言记法
证明：取0.999……的不足近似值得数列{a(n)}:0.9，0.99，0.999，……，0.999……9（共n个9），……①，其通项为a(n)＝0.999……9（小数点后边共n个９），因为对任意预先给定的无论样小的正数ε（１），恒存在Ｎ（１），当m,n>N（１）恒有∣a(m)-a(n)∣<ε（１）所以数列{a(n)}（即数列①）康托尔一致收敛，所以数列①是康托尔基本数列。注意：数列的康托尔一致收敛，是数列哥西收敛的充分而不必要条件（下同）
取0.999……的常规近值（即由四舍五入法得到近似值）{b（n）}：1.0，1.00，1.000，……1.000……0（小数点后边共n个０），……②，因为对任意预先给定的无论样小的ε（２）＝ε（１）＝ε，恒存在Ｎ（２），当m,n>N（２）恒有∣b(m)-b(n)∣<ε（２）所以数列{b(n)}（即数列②）康托尔一致收敛，所以数列②也是康托尔基本数列。
由于对任意预先给定的无论样小的正数ε，存在N＝Max{N(1),N(2)}当n>N时有∣b(n)-a(n)∣<ε所以数列{a(n)}和数列{b(n)}等价；注意：两个数列等价，并不是这两个数列相等；根据等价的定义数列{a(n)}和数列{b(n)}只有当n趋于无穷时，才有对任意预先给定的无论样小的正数ε恒有∣b(n)-a(n)∣<ε，因为在n→∞时a（n）=0.999……,b(n)＝1。于是把彼此等价的基本数列归为一类得到集合{0.999……，1}。因为0.999……和1是同类，所以它们的极限相同。由“数列极限存在，则极限唯一”（该性质证明较易，此处从略）集合等式{0.999……，1}＝{1}成立。于是根据集合中元素互异，有0.999……＝1。故此命题得证。