【讨论】由 1，2，3 三个数码组成的七位数有多少个？

天山草

[这个贴子最后由天山草在 2012/01/06 09:14pm 第 2 次编辑]

由 1，2，3 这三个数码组成的各不相等的 7 位数共有多少个？
在上述这些数字的数码排列中，有多少个数的排列是有连续五个数码相同者？【连续五个以上的不计在内】例如，3211111 这个数符合要求，因为它有五个“1”排在一起。而 3111111 这个数不算，虽然它“超额”完成了任务。

luyuanhong

大傻8888888

由 1，2，3 这三个数码组成的各不相等的 7 位数共有3^7-3-7*2*3-21*2*3=2016个。[br][br]-=-=-=-=- 以下内容由 大傻8888888 在 时添加 -=-=-=-=-
对不起，我把“在上述这些数字的数码排列中，有多少个数的排列是有连续五个数码相同者？”看成“在上述这些数字的数码排列中，有多少个数的排列是有五个数码相同者？”，其中少了“连续”这两个字。失之毫厘，谬以千里。可见审题的重要性。

天山草

[这个贴子最后由天山草在 2012/01/07 08:49am 第 3 次编辑]


  “共有 2187 个七位数，共有 48 个 5 色串”——这是我用计算机硬算的结果，跟陆教授的解答完全一样。当然，陆教授的方法要高明得多。
   统计上述 2187 个七位数中，1，2，3 各数码各有多少个，结果是各有 5103 个，也就是 2187×7/3 = 5103。
   如果把这 2187 个数字写在 2187 张卡片上，再放入口袋中，从中任抽取一张卡片时，恰好抽到“ 5 色串”的概率应该是 48/2187 = 0.021947873。
   [color=#DC143C]现在把问题改一改：一个袋子中有三种颜色的小球，红球 1 个，绿球 1 个，蓝球 1 个。从袋中每次摸一个球出来，按其颜色在纸上画一个色点，然后把球放回口袋中再摸，再画色点，如此共进行 7 次，就得到由三种颜色、7 个色点组成的色串。这叫“一次试验”。问：在“一次试验”中，色串中恰好有 5 个连续同色串（多于 5 个的不算在内）的概率是多大？
   上面这个问题，用计算机进行模拟试验，试验 1000 万次，结果是 0.0219341，这与准确值 48/2187 = 0.021947873 很接近了，相对误差小于千分之一。