[求助]一道几何题

jx215

已知EB⊥AB,∠CAB=6度,∠DAB=36度,AC=DE,求证:AE=2AB

任在深

证：
   假设 AE=2AB
    则 ∠EAB=60º,∠AEB=30º(在直角三角形中两锐角分别是30º，60º，斜边是30º角对应的直角边的2倍。)
       因为 ∠DAC=∠DAB-∠CAB=36º-6º=30º
            ∠ACB=180º-90º-6º=84º
            ∠ACD=180º-84º=96º
            ∠ADC=180º-30º-96º=54º
            ∠ADE=180º-54º=126º
            ∠EAD=180º-30º-126º=24º   （假设∠AEB=30º)
    而      ∠EAB=∠EAD+∠DAB=24º+36º=60º
    因为    ∠EAB=60º,∠AEB=30º与假设相符。
    所以    AE=2AB 正确！
             证毕。
   
   

jx215

LS若用反证法应设AE不等于2AB，从而推出矛盾。LS这种证法属于循环论证吗？若可以，以后平几证明题都可以先假设结论正确了。
还有不用反证法怎么证？

luyuanhong

[这个贴子最后由luyuanhong在 2012/01/14 05:51pm 第 1 次编辑]

下面这种证法是“硬算”出来的，比较繁，欢迎看到更简单的证法：

任在深

下面引用由jx215在 2012/01/14 10:35am 发表的内容：
LS若用反证法应设AE不等于2AB，从而推出矛盾。LS这种证法属于循环论证吗？若可以，以后平几证明题都可以先假设结论正确了。
还有不用反证法怎么证？

这恰恰是最严谨的证明！
所谓的循环论证也恰恰是今后作为符合自然法则的结构数学的基本证明方法！
    真正的伟大数学家以及科学家都提倡用自然法则的数学函数关系作科学探索，而放弃对原因做形而上学的探索！
    因此上述的方法就是充分利用三角形内角和为180º的定义以及直角三角形30º角所对应的直角边是斜边的1/2的定理。
    如果 ∠A+∠B=180º,
    那么已知 ∠A,则可求∠B
     反之已知∠B,则可求∠A.
        所有伟大的科学家都是这样教导的！
注意！数学是严谨的科学！不是形而上学！！
      一切符合自然法则的数学方法必然简单易懂！
     反之一切违背自然法则的则必然是繁琐臃肿！
     不知你喜欢那种方法？

jx215

谢谢陆教授，刚才试着算一下，确实很繁。我本想通过证明∠E=30度来求，但不成功。

任在深

[这个贴子最后由任在深在 2012/01/14 09:23pm 第 1 次编辑]

下面引用由jx215在 2012/01/14 08:10pm 发表的内容：
谢谢陆教授，刚才试着算一下，确实很繁。我本想通过证明∠E=30度来求，但不成功。

哈哈！
     繁不怕！威尔斯证明“费尔马”大猜想用了300页！？
     中国人证明哥德巴赫，孪生素数，黎曼等猜想再加上“费尔马猜想”才用了不到一百页，太简单了没意思！
     那不是数学！起码不是西方的拼凑数学！
     你要一心一意的向西方学习就不要怕繁！
     继续努力！
     光明就在前面！？？
                                         申一言。

任在深

[这个贴子最后由任在深在 2012/01/15 09:03am 第 2 次编辑]

楼主的题，显然是一道初中极其简单的题！
出题者的目的只是为了复习 1.直角三角形的相关性质，2三角形内角和的性质，3.以及其他余角，补角的性质。
     因此下面的推导证明简单明了，而且是正确的！
∠A(60º)→[ ∠B-∠C(36-6)º=30º]→[∠D=180º-(90+6)º=84º]→[∠E=180º-84º=96º]→[∠F=180º-96º-（30º）=54º]→[∠J=180º-54º=126º]→[∠K=180º-126º-30º]=24º]↔[∠L=36º+24º=60º]
    一环紧扣一环，哪儿是循环证明了？
    是用了假设的 30º角，这恰恰是问题的关键！
    而所求的 ∠K=24º, ∠L=∠K+36º=24º+36º=60º.
    至此问题得到圆满的无懈可击的证明！

kanyikan

[这个贴子最后由kanyikan在 2012/01/16 05:00pm 第 7 次编辑]


用同一法证明：
在射线BC上取点E';，使得∠E';AB=60°，于是AE';=2AB，
因此只要证明E和E';重合即可，即证DE';=DE=AC即可。
以AC为边作正△ACF（F和C分别位于AD两侧），连FE';
所以，AD是CF的垂直平分线，
于是，∠DCF=∠DFC=∠DCA-∠FCA=(90°+6°)-60°=36°
所以，∠E';DF=∠DCF+∠DFC=72°
过F作AE';的垂线，G是垂足，
由于AF=AC，∠FAG=∠FAC-∠E';AC=60°-∠E';AC=∠CAB，∠FGA=∠CBA=90°
所以，△FAG≌△CAB，所以，AG=AB，
又AE';=2AB，所以，G为AE';的中点，亦即FG垂直平分AE';
所以，FA=FE';，于是，∠FE';A=∠FAE';=6°，因此∠FE';D=36°
又，∠E';FD=180°-∠E';DF-∠FE';D=180°-72°-36°=72°
于是有，∠E';FD=∠E';DF
因此，DE';=FE';=AC=DE
所以，点E和点E';重合，命题得证。

luyuanhong

[这个贴子最后由luyuanhong在 2012/01/16 05:06pm 第 1 次编辑]

上面 kanyikan 给出的同一法证明很好！
我已经将这一证明转贴到“陆元鸿老师的《数学中国》园地”。