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本帖最后由 愚工688 于 2018-9-22 09:38 编辑
在自然数A内用小于√(2A)的全部素数筛选，必有筛余数x,构成素对{A±x}，使得猜想成立。
素数判断的最好方法是艾拉托尼筛法：N不能被≤√N 的所有素数整除即为素数。
艾拉托尼筛法能够正确筛选出在[√N,N]之内的全部素数，全部N内的素数，应该加上作为筛子的≤√N 的所有素数。
艾拉托尼筛法不仅仅能够筛选自然数中除以≤√N 的所有素数时余数不等于0的数，也就是对应区域[√N,N]之内的全部素数；
由于自然数列除以任意一个素数n 时的余数呈现周期性的循环变化：0,1,2,3,4,5,…,n-2,n-1;0,1,2,3,4,5,…
因此同样能够筛选出自然数中除以≤√(2A) 的所有素数时余数不等于指定余数值的数x。
而这样的数x 就是偶数2A 的猜想{1+1}素对构成的主参数： A±x .
对于任意大于5的偶数M，(M=2A),用√(M-2)内的全部素数(最大为 r） 来筛选自然数区域[0,A-3]中的数x；
筛选条件是：x 除以素数n时余数不等于jn与(n-jn)的数x;（余数jn是偶数半值A除以素数n的余数，2≤n≤r ）。
这样的数x值使偶数2A能够拆成符合条件a 的素数对 A±x 。
看看x在什么情况下使得A-x与A+x都成为素数：
条件a) A-x与A+x同时不能够被小于√(M-2)的所有素数2，3，…，r （r为其中最大的素数，下均同）整除时，两个数都是素数；
符合条件a 的x值的数量，记作S1(m);其数量在素对总数S(m)中占主要部分。
条件b) A+x不能够被小于√(M-2)的所有素数2，3，…，r 整除,而A-x 等于≤r 的某素数。
符合条件b 的x值的数量，记作S2(m);—— S2(m)在素对总数S(m)中占次要部分，不作详细讨论。
显然，素对总数S(m)= S1(m)+S2(m) .------{式1}
对于自然数区域[0,A-3]中的数值x,
要使得A-x与A+x不能被2整除成为奇数，则x取除以2时的余数不等于j2即可，这样的x值在区间里的发生概率为1/2；
而要使得A-x与A+x不能被3整除，则x取除以3时的余数不等于j3与3-j3即可，这样的x值在区间里的发生概率为i3/3；（i3=3-1，j3=0时;或i3=3-2，j3≠0时）。
因此对于满足两个小素数2、3时的筛余数条件的最小概率是：p（2、3）=1/2*1/3=1/6；
对于其它的素数，而要使得A-x与A+x不能被素数n整除，则x取除以n时的余数不等于jn与n-jn即可，这样的x值在区间里的筛余率为（1-in/n）；（in=n-1，jn=0时；或in=n-2，jn≠0时；3≤n≤r）。
显然，随着素数r的不断增大，愈大的素数n的筛选效果愈差。单个素数n的筛余率值会越来越大而接近1 。
而依据概率的乘法定理，符合条件a：
除以素数2，3，…，n，…，r时余数同时满足不等于j2、j3及(3－j3)、j5及(5－j5)、…、jr及(r -jr)的x值的分布概率P(m) 有
P(m)=P(2·3·…·n·…*r)
=P(2)P(3)…P(n)…P(r) . -----------{式2}
故在[0，A-3] 中的这个自然数区域中使偶数Ｍ分成两个符合条件a的素数的x值数量的概率计算值Sp(m)，有：
Sp(m)=(A-2)P(m)
= (A-2) P(2·3·…·n·…·r)
=(A-2)*P(2)P(3)…P(n)…P(r)
=(A-2)*(1/2)*f(3)*…*f(n)*…*f(r). -----------{式3}
式中：3≤ n≤r；n是素数。f(n)=(n-1)/n, [jn=0时]；或f(n)=(n-2)/n, [jn>0时] 。jn系A除以n时的余数。
显然的是随着愈大的素数n的筛选效果愈差，整体的筛余率 P(m)的减小速率会越来越慢；
而x的取值区间[0,A-3]中间的数，则随着素数r的增大以至少是r*r/2 的数量增大。
很明显的是区间[0,A-3]中间数的增多速率远远大于素数r的增多而总筛余率的下降速率。
……
因此同N内的素数数量会随着N的增大而愈来愈多那样，偶数M的素对数量也必然随着M的增大低位值而愈来愈大。
二， x值主部的筛选
把x值的取值域[0,A-3]的自然数依据除以素数2，3时的余数不同，分为下面六组: —— { 分组 A }
零组(0,0)：0，6， 12，18，24, 30，36，42，48，54，60,66,72,78,…
一组(1,1)：1，7， 13，19，25, 31，37，43，49，55，61,67,73,79,…
二组(0,2)：2，8， 14，20，26, 32，38，44，50，56，62,68,74,80,…
三组(1,0)：3，9， 15，21，27, 33，39，45，51，57，63,69,75,81,…
四组(0,1)：4，10，16，22，28, 34，40，46，52，58，64,70,76,82,…
五组(1,2)：5，11，17，23，29, 35，41，47，53，59，65,71,77,83,…
那么偶数M的半值A 除以素数2，3时的余数同样有6个结果：
(j2=0,j3=0); x值对应于一组和五组中；
(j2=0,j3=1); x值对应于三组中；
(j2=0,j3=2); x值对应于三组中；
(j2=1,j3=0); x值对应于二组和四组中；
(j2=1,j3=1); x值对应于零组中；
(j2=1,j3=2); x值对应于零组中；
显然：
若A除以素数2时j2=0，A又能够被3整除，那么x值对应于一组和五组中；
若A除以素数2时j2=1，A又能够被3整除，则 x值对应于二组和四组中。
若A不能够被3整除，那么A是偶数（属于二组或四组）时x值对应于三组中；
若A是奇数（属于一组或五组）时则x值对应于零组中。
从这个A与x的对应关系中我们可以了解为什么含有素因子3的偶数拆分的素对数量是邻近不含有奇素因子偶数的2倍左右的原因。
在A不能够被3整除的情况下,来看看x值所对应的零组（或三组）的数除以2,3以外的其它素数时的余数变化情况:
(以零组为例)
零组： 0,6,12,18,24,30,36,42,48,54,60,66,72,78,84,90,96,102,108,114,120,126,132,138,144,…
除以5时的余数变化: 0,1,2,3,4；0,1,2,3,4；0,1,2,3,4；0,1,2,3,4；…
除以7时的余数变化: 0,6,5,4,3,2,1；0,6,5,4,3,2,1；0,6,5,4,3,2,1；0,…
除以11时的余数变化:0,6,1,7,2,8,3,9,4,10,5;0,6,1,7,2,8,3,9,4,10,5;0,6,1,7,2,8,3,9,4,10,5;…
除以13时的余数变化:0,6,12,5,11,4,10,3,9,2,8,1,7；0,6,12,5,11,4,10,3,9,2,8,1,7；0,6,12,5,11,4,10,3,9,2,8,1,7； …
…
同样其它5组除以2和3外的其它素数的余数情况都是呈现类似的周期性循环变化。
上面以除以2和3的余数不同分类的各组在除以其它素数5，…，r 时得到的余数仍然以被除素数值为周期循环变化。这反映了自然数中除以不同素数得到的余数具有互相独立的特性。
二，构成偶数素对 A±x 的x值主部的筛选
在≤√(M-2)的最大素数r＞3的对应区域内不含有素数3的偶数x值的筛选：
r= 5 ；对应的偶数区域28 -- 50 ，
在{分组 A}中的零组中最小偶数的x值至少有3个，用（1- 2/5）的筛选概率必有筛余数；在三组中最小偶数的x值至少有2个。
例：28：14除以2和3为（0,2）； x值对应于三组中的数 3,9。
而14除以5的余数为4，（其中9除以5的余数是4，但是14-9=5，符合条件b) ,符合条件a 的解是3 ，形成的素数对（11,17）。
r= 7 时；对应的偶数区域：52 -- 122 ；
2、3 以外的素数的筛余概率为（1-2/5)*(1-2/7)=3/7
x值在零组最少有5个候选值，在三组最少有4个候选值；显然必定有筛余数。
例： 区域内最小偶数52：
A=26,是不含有3的偶数。x值对应于三组的（3,9,15,21)中，
26 除以5余数是1，筛除x值除以5余数是1与4的9、21，
26 除以7余数是5；筛除x值除以7余数是5与2的数，有9。
因此偶数52对应的三组中的筛余数是3,15 。
形成偶数52的符合条件a 的素数对：（26±3）,（26±15）。
r= 11 时；对应的偶数区域：124 -- 170 ；
2、3 以外的素数的筛余概率为（1-2/5)*(1-2/7)*（1-2/11)=27/77;
例： 区域内最小偶数124: A=62,
62是不含有3的偶数，x值对应于三组中的 (3,9,15,21,27,33,39,45,51,57),
其中
62除以5的余数是2，筛除x值除以5余数为2、3的3、27、33、57；
62除以7的余数为6，筛除x值除以7余数为6与1的数15、27、57；
62除以11的余数为6，筛除x值除以11余数为6,5的数27、39、
因此偶数124对应的三组中的筛余数有：9，21，45,51，
由此得到偶数124的符合条件a 的素数对: (62±9),(62±21),(62±45）,(62±51) 。
r= 13 时；对应的偶数区域：172 -- 290 ，
2、3 以外的筛余概率为（1-2/5)*(1-2/7)*（1-2/11)*（1-2/13)=27/91;
例：区域内最小偶数172:A=86,
86是不含有3的偶数，x值对应于三组中的 (3,9,15,21,27,33,39,45,51,57,63,69,75,81)
其中 86除以5的余数是1，筛除x值除以5余数为1,4的9,21,39,51,69,81；
86除以7的余数为2，筛除x值除以7余数为2与5的数9,33,51,75;
86除以11的余数为9，筛除x值除以11余数为9,2的数:9,57,75;
偶数172对应的三组中的筛余数有：(3,15,27,45,63,)
得到偶数172的符合条件a 的素数对: (86±3),(86±15),(86±27),(86±45),(86±63);
……
显然，随着√(M-2)内的最大素数r 的增大，筛余数发生概率的下降会愈来愈缓慢，而与最大素数r 对应的取值区间符合条件a 的素对x值数量增多则愈来愈快。
对于越来越大的偶数2A，要在其x值对应的取值范围[0,A-3]中与A所对应的上面六组中的任意一组中，以筛除率越来越小的大素数来筛除愈来愈多的对应的取值各组中的数，必然存在筛余数值。
而这些筛余数就是该偶数的符合条件a的素数对 A±x的构成值 x.
如同自然数N中用艾拉托尼筛法来筛选[√N,N]中间的素数那样，素数数量会随着自然数N增大而越来越多；
用√(M-2)内的全部素数来筛选自然数区域[0,A-3]中的除以素数n时余数不等于jn与(n-jn)的数x,可以得到全部的使得偶数2A 拆成符合条件a 的素数对 A±x 的x值，并且x值数量的低位值随着偶数M的增大必然也是愈来愈大。
结论：在自然数A内用小于√(2A)的全部素数筛选，必有筛余数x,能够构成素数对 —— {A±x}，即猜想成立。
附录一： 偶数M的x值可取范围的数量s(r)与√(M-2)内最大素数r 的对应关系：
数据指南：
p(r)min ——区域内偶数不含有奇素数因子时的筛余概率；
s(r) —— 区域内最小偶数的x值可取范围的自然数数量 ；
Smin —— x值可取范围的自然数按照除以2、3的余数情况分成6组后的组最低数量；Smin=s(r)/6 .
28 ------- 50 ; r= 5 ; p(r)min= .100000 ; s(r) = 12 ; Smin = 2
52 ------ 122 ; r= 7 ; p(r)min= .071429 ; s(r) = 24 ; Smin = 4
124 ----- 170 ; r= 11 ; p(r)min= .058442 ; s(r) = 60 ; Smin = 10
172 ----- 290 ; r= 13 ; p(r)min= .049451 ; s(r) = 84 ; Smin = 14
292 ----- 362 ; r= 17 ; p(r)min= .043633 ; s(r) = 144 ; Smin = 24
364 ----- 530 ; r= 19 ; p(r)min= .039040 ; s(r) = 180 ; Smin = 30
532 ----- 842 ; r= 23 ; p(r)min= .035645 ; s(r) = 264 ; Smin = 44
844 ----- 962 ; r= 29 ; p(r)min= .033187 ; s(r) = 420 ; Smin = 70
964 ---- 1370 ; r= 31 ; p(r)min= .031046 ; s(r) = 480 ; Smin = 80
1372 --- 1682 ; r= 37 ; p(r)min= .029368 ; s(r) = 684 ; Smin = 114
1684 --- 1850 ; r= 41 ; p(r)min= .027935 ; s(r) = 840 ; Smin = 140
1852 --- 2210 ; r= 43 ; p(r)min= .026636 ; s(r) = 924 ; Smin = 154
2212 --- 2810 ; r= 47 ; p(r)min= .025502 ; s(r) = 1104 ; Smin = 184
2812 --- 3482 ; r= 53 ; p(r)min= .024540 ; s(r) = 1404 ; Smin = 234
3484 --- 3722 ; r= 59 ; p(r)min= .023708 ; s(r) = 1740 ; Smin = 290
3724 --- 4490 ; r= 61 ; p(r)min= .022931 ; s(r) = 1860 ; Smin = 310
4492 --- 5042 ; r= 67 ; p(r)min= .022246 ; s(r) = 2244 ; Smin = 374
5044 --- 5330 ; r= 71 ; p(r)min= .021620 ; s(r) = 2520 ; Smin = 420
5332 --- 6242 ; r= 73 ; p(r)min= .021027 ; s(r) = 2664 ; Smin = 444
6244 --- 6890 ; r= 79 ; p(r)min= .020495 ; s(r) = 3120 ; Smin = 520
6892 --- 7922 ; r= 83 ; p(r)min= .020001 ; s(r) = 3444 ; Smin = 574
7924 --- 9410 ; r= 89 ; p(r)min= .019552 ; s(r) = 3960 ; Smin = 660
9412 -- 10202 ; r= 97 ; p(r)min= .019149 ; s(r) = 4704 ; Smin = 784
……
可以看到，当筛余率由 p(r)min= .1 下降到 p(r)min= .020001 ，即下降了80% 时；
对应的x值可取范围的自然数数量则由 s(r) = 12 增大到 s(r) = 3444 ，增大了287倍。
偶数M愈大，√(M-2)内的最大素数r也愈大，以下降越来越慢的最小筛余率p(r)min，来筛除s(r)值愈来愈大的被筛区间，最少筛余数会越来越多的这个现象是必然的。
附录二：符合条件a的素数对数量的概率计算值Sp(m)—— {式3} 的相对误差δ1(m)的水平统计
相对误差 δ1(m)分区分布(6--50000)
δ1(m) : <-.2 , [-.2~-.1) , [-.1~0) , [0~.1] , (0.1~.2] , (.2~.3] , >.3
-------------------------------------------------------------------------------------
[ 6 , 1000 ] 20 90 201 125 39 13 10
[ 6 , 10000 ] 24 288 2731 1755 169 20 11
[ 10002 , 20000 ] 0 8 2568 2404 20 0 0
[ 20002 , 30000 ] 0 0 1538 3445 17 0 0
[ 30002 , 40000 ] 0 0 1243 3742 15 0 0
[ 40002 , 50000 ] 0 0 853 4126 21 0 0
在该项误差分布统计中，可以计算出相对误差δ1(m)的分布情况：
在[ 6 , 1000 ]中， 分布在±0.10 范围内的占65.46%，在±0.20 范围内的占91.37%；
在[ 6 , 10000 ]中， 分布在±0.10 范围内的占89.76%，在±0.20 范围内的占98.90%；
在[ 10002 , 20000 ]中，分布在±0.10 范围内的占99.44%，在±0.20 范围内的占100%；
在[ 20002 , 30000 ]中，分布在±0.10 范围内的占99.66%，在±0.20 范围内的占100%；
在[ 30002 , 40000 ]中，分布在±0.10 范围内的占99.70%，在±0.20 范围内的占100%；
在[ 40002 , 50000 ]中，分布在±0.10 范围内的占99.58%，在±0.20 范围内的占100%；
显然除了在小偶数区域[ 6 , 1000 ]中，相对误差的分布比较离散外，在10000以上的偶数的相对误差的分布都是比较集中的。
若是用统计计算的数据来看：
各区间的偶数的相对误差δ1(m)作统计计算，结果如下：（μ：平均相对误差， 标准偏差 σx=√(∑δ^2/n).）
（
M=[ 6 , 10000 ] , R= 97 , n= 4998 , μ1=-.01 , σx1= .07 , δ1min=-.5 , δ1max= 1.286
M=[ 10002 , 20000 ] , R= 139 , n= 5000 , μ1= 0 , σx1= .04 , δ1min=-.137 , δ1max= .141
M=[ 20002 , 30000 ] , R= 173 , n= 5000 , μ1= .01 , σx1= .03 , δ1min=-.088 , δ1max= .151
M=[ 30002 , 40000 ] , R= 199 , n= 5000 , μ1= .02 , σx1= .03 , δ1min=-.087 , δ1max= .123
M=[ 40002 , 50000 ] , R= 223 , n= 5000 , μ1= .02 , σx1= .03 , δ1min=-.074 , δ1max= .125
（标准偏差δ的通用符号为σx ，这里对δ1 的统计计算，记为σx1；平均偏差μ也如此记为μ1）
各区间相对误差的均值都在0为附近，标准偏差除了10000以下受限偶数的影响σx1= .07略显大点以外，其它各区间的σx1都比较小。
结论：用素对计算式{式3} 来计算不太大的偶数2A 表为两个大于√(2A)的素数对的数量，相对误差是不大的，具有比较高的可靠性。
注：今天发现此帖子中的偶数 2A的表为两个素数和的素对｛ A±x｝都成了｛ A ±x｝，包括题目，特作此修复。——2018-09-22
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发表于 2017-11-17 19:27
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