f(x)=x^3/3+bx^2/2+cx+d 在 (0,2) 内既有极大值又有极小值，求 c^2+2bc+4c 的取值范围

luyuanhong

这是台湾网友 YAG 发表在“陆老师的《数学中国》园地”的一个帖子，

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天元酱菜院

f(x) 在 (0,2)中既有极大值又有极小值。
所以，f ' (x) =x^2 + bx + c = 0  有相异的两根  0< x1 < x2 <2 ;    有  b^2 - 4c >0
由韦达定理： b = - (x1 + x2) ;    c= x1 x2;
所以： c^2 +2bc + 4c  = (x1 x2)^2 - 2(x1 + x2) x1 x2 + 4x1 x2 =
        = (x1x2)^2 + 4x1 x2  -  2 x1^2 x2 - 2x1 x2^2 ......(1)
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对于(1)式，如果x1=x2     (注释：本题不会有x1=x2, 但x1与x2可以很接近。考虑边界情况)
(1)式 = x1^4 - 4 x1^3 + 4x1^2 = x1^2  (x1^2 - 4x1 + 4) =x1^2  (x1 -2)^2.........(2)
(2)式的导函数在(0,1)区间>0,在(1,2)区间<0 ，在x=1处为0
(2)式的最大值在x=1处，最大值为1； 最小值在定义域外， x=0和x=2处，其值为0
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回到(1)式：  c^2 +2bc + 4c = (x1x2)^2+4 x1*x2 - 2 x1^2  *x2 - 2x1* x2^2 ......(1)
当x1取定(0,2)中的某值后,  x2的变动范围是区间（x1,2），此时对(1)式求x2变量的偏导：
2 x1^2 x2 +4 x1 - 2  x1^2 - 4 x1*x2 =2*x1 ( (2 - 2*x2) -  (x1- x1*x2) )
           =  2*x1 ( 2-x1)(1-x2) .......(3)   
即：在0<x1<x2<1时，这个导数为正，在 x2=1时导数为0，在1<x2<2时导数为负
即：x1<1时，在x2=1处有针对这个x1的最大值
  x1^2+4x1-2x1^2- 2x1 =2x1 - x1^2= 1- (1-2x1+x1^2)= 1-(1-x1)^2. 处于（0,1）之间
      x1<1时，在（定义域外的） x2=x1和x2=2处有极小值。
          x1^2（x1-2）^2, >0
         和  4 x1^2 +8x1 -4x1^2 - 8x1 =0
在x1>=1时， x2>1,  导数(3)式 为负。 在(定义域外的) x2=2处有极小值
             4 x1^2 + 8x1 -4x1^2 -8x1=0
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综上： 题目所求范围是 （0,1）区间

luyuanhong

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f(x) 在 (0,2)中既有极大值又有极小值。
  所以，f ' (x) =x^2 + bx + c = 0    有相异的两根  0< x1 < x2 <2 ;   
  由韦达定理： b = - (x1 + x2) ;     c= x1 x2;
  所以： c^2 +2bc + 4c  = (x1 x2)^2 - 2(x1 + x2) x1 x2 + 4x1 x2 =
         = (x1x2)^2 + 4x1 x2  -  2 x1^2 x2 - 2x1 x2^2 ......(1)
当x1取定(0,2)中的某值后,  x2的变动范围是区间（x1,2），此时对(1)式求 x2变量的偏导：
           2 x1^2 x2 + 4 x1 - 2  x1^2 - 4 x1*x2 =2*x1 ( (2 - 2*x2) -  (x1- x1*x2) )
            =  2*x1 ( 2-x1)(1-x2) .......(3)  
在取定x1,  当 0<x1<1情况下：
           x1<x2<1时 (3)式 为正，x2=1时(3)式为0，1<x2<2时(3)式为负
    于是：
          在x2=1处, (1)式有 (针对所取x1的) 最大值
                   (1)= x1^2+4x1- 2x1^2- 2x1 =2x1 - x1^2= 1- (1-2x1+x1^2)= 1-(1-x1)^2,     显然处于（0,1）之间
          在（定义域外的） x2=x1 和 x2=2 处, (1)有极小值。
                  x2=x1,   则有：(1) = x1^4 + 4x1^2 - 4x1^3 = x1^2 * (2- x1)^2   显然大于0  
                  x2=2,     则有： (1) = 4 x1^2 + 8x1 -4x1^2 - 8x1 =0
    这种情况下，所求范围是(0,1)区间
在取定x1, 当 x1>=1情况下：
           x2 >  x1>=1,   (3)式 为负。
     于是 :
           在(定义域外的) x2=x1 处 (1)有极大值：  (1)= x1^4 + 4x1^2 - 4x1^3 ......(4)
                   求(4)式的导数：4x1^3 + 8x1 -12x1^2 =4x1 (x1-1)(x1-2) ， 由于 1<= x1<2,  这个导数不大于0。
                   即： 对于1<= x1<2 情况， (4)式不大于   1^4 + 4* 1^2 - 4* 1^3 =1   
          在(定义域外的) x2=2处有极小值
                  4 x1^2 + 8x1 -4x1^2 - 8x1=0
    这种情况下，题目所求范围是 （0,1）区间   
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综上： 题目所求范围是 （0,1）区间

luyuanhong

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一个更简洁的解法：

f(x) 在 (0,2)中既有极大值又有极小值。
  所以，f ' (x) =x^2 + bx + c = 0    有相异的两根  0< s < t <2 ;   
   由韦达定理： b = - (s + t) ;     c=st;

令 c^2+2bc+4c = g,
有： g =c^2 +2bc + 4c  = c (c+2b+4)=st (st-2s-2t+4)=st(2-s)(2-t)......(1)

g 的4个因式显然都大于0，所以，g>0；
       另一方面，由题设显然有t<2,  (2-s)<2, (2-t)<2  
      对于任何ε>0，当 s= ε/8时，g=ε/8 *t*(2-s)*(2-t) < ε/8 *2*2*2 =ε
       即, 我们有g>0  和g的取值范围下确界=0

g 的 4个因式都大于0,且s<t;  根据柯西不等式
      g = { { st(2-s)(2-t)  }^(1/4)  }^4  <  {  {  s+t+(2-s)+(2-t)  } /4  }^4
                                                            = 1^4 =1
       即，g<1。
      另一方面，对于任意 ε>0 (ε<1),   
      当取 s=1,   t=1+ε时    就有： g= 1*(1+ε) *1*(1-ε) =1-ε^2 > 1-ε 。
      可见 g <1 和 g的取值范围上确界是1

g是关于s和t的连续函数， 所以，g可以取得(0,1)间的任何值。

综上： 题目所求范围是 （0,1）区间

luyuanhong

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