细菌每 1 分钟以概率 1/6、1/3、1/2 死亡、不变、变两个，求 3 分钟后变成 6 个的概率

wintex

請問陸老師

markfang2050

:lol

luyuanhong

题  某种细菌每一分钟后，或以概率 1/6 死亡，或以概率 1/3 不变，或以概率 1/2 变两个。

    求 1 个细菌 3 分钟后变成 6 个的概率。

解  因为每一分钟后，一个细菌最多变两个，所以，要使得 1 个细菌 3 分钟后变成 6 个，

前一分钟即 2 分钟后至少要有 3 个细菌，再前一分钟即 1 分钟后至少要有 1.5 个细菌。

   由于 1 分钟后至少要有 1.5 个细菌，所以第一分钟必定是以概率 1/2 从一个变成两个。

   2 分钟后至少要有 3 个细菌，可以分为下列两种情况：

（1）2 分钟后，两个变成三个，这必定是两个细菌中有一个细菌以概率 1/2 从一个变成两个，

另一个细菌以概率 1/3 保持不变，要在两个细菌中选定哪一个细菌保持不变，有 2 种选法。

    3 分钟后，这三个细菌要变成六个，必定是三个细菌都以概率 1/2 从一个变成两个。

（2）2 分钟后，两个变成四个，这必定是两个细菌都以概率 1/2 从一个变成两个。

    3 分钟后，这四个细菌要变成六个，又可以分成下列两种情况：

    一种情况是：四个细菌中有一个以概率 1/6 死亡，另外三个以概率 1/2 从一个变成两个，

要在四个细菌中选定哪一个细菌死亡，有 4 种选法。

    另一种情况是：四个细菌中有两个以概率 1/3 不变，另外两个以概率 1/2 从一个变成两个，

要在四个细菌中选定哪两个细菌不变，有 C(4,2)=6 种选法。

    综合以上分析，可知 1 个细菌 3 分钟后变成 6 个的概率为

  1/2×｛2×(1/2)×(1/3)×(1/2)^3 + (1/2)^2 ×［ 4×(1/6)×(1/2)^3 + 6×(1/3)^2×(1/2)^2 ］｝

= 1/2×［ 1/24 + (1/4)×( 1/12 + 1/6 )］

= 1/2×（ 1/24 + 1/16 ）

= 1/2 × 5/48

= 5/96 。