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[这个贴子最后由任在深在 2012/03/29 04:05pm 第 3 次编辑]
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1.已知正方形顶点坐标为 A(x,0),B(0,y),C(a,2/a),D(b,2/b)，求证 x=a ，yb=2
由图可知：
因为 A(x,0)
C(a,2/a),
AC⊥0X, AC∥0Y
因此 0X=x=a （AC上X1=X2=,,,Xn=a)
因为 B(0,y)
A(x,0)
所以 0B=0A,即0x=0y=a （正方形边长相等）
因为 AC=BD,即 b=2/a, （正方形对角线相等）
所以 0y*BD=yb=a*b=a*(2/a)=2
证毕！
对不起！俺班门弄斧了！
敬请陆教授批评指教！
谢谢！
2.此图像由四个半径为1的圆相交组成，圆心坐标分别为（1，0），（-1，0），（0，1），（0，-1），与x,y轴交于4个点且是实的。现在擦去中间相交部分，问能否以一个含x,y的方程来表达这个图像？
由于《中华单位论》是纯粹数学的理论基础，是元数学，还是证明论，因此利用该理论可以轻松的得到关于 X,Y的直角坐标形式的方程，因为《中华单位论》就是“数”与形结合的典范！
求解该图形的数学函数结构式：
解
连接各个单位圆的直径ac,在上半圆周上，任意找一点b,abc构成直角三角形，过b点做直径即斜边上的垂线（高），垂足为d.
由勾股定理知：
因为 h²=(bd)²=ad*dc
其中 y=h, R=ac=2，ad=x,dc=2-x
_____
所以 （1） y=√x(2-x)
x 0 1/8 1/4 1/2 1 3/2 7/4 15/8 2
y 0 √15/8 √7/4 √3/2 1 √3/2 √7/4 √15/8 0
注意！可以在区间【0,2】任意取值！
_____ ________ ____
√h=√ad*dc =√1*(2n-1)=√2n-1, n=1,2,3,,,
因此 √h/f 可作。
欢迎批评指导！
3.设 0≤p,q≤1 ，p+q=1 ，m,n 是正整数，求证：(1-p^m)^n+(1-q^n)^m≥1
因此分析如下：
0--Ap---------1/2-----Bq-----1,Ap=(1-Pˆm)ˆn,Aq=(1-Qˆn)ˆm(1/a)ˆm→0;则 (1/b)ˆn→1
-----------→ ←----------
1--Aq---------1/2-----Bp-----0,Bp=(1-Pˆm)ˆn,Bq=(1-Qˆn)ˆm,(1/a)ˆm→1;则 (1/b)ˆn→
证
1.当 P=0，Q=1时
(1-Pˆm)ˆn+(1-Qˆn)ˆm=(1-0)ˆn+(1-1ˆn)ˆm=1-0=1,命题成立。
2.假设 P=Q=1/2（中间值）
则
(1-(1/2)ˆm)ˆn≤1，(1-(1/2)ˆn)ˆn≤1
当 m=n=1时：
(1-(1/2)ˆm)ˆn+(1-(1/2)ˆm)ˆn=1/2+1/2=1，命题成立。
那么：
当 m≠n时：
1≤(1-(1/2)ˆm)ˆn+(1-(1/2)ˆm)ˆn＜2
3.令 P=1/a, Q=1/b, 即 1/a+1/b=1, a＞1；b＞1.
因此
[1-(1/a)ˆm]ˆn≤1，[1-(1/b)ˆn]ˆm≤1
此时 当 (1/a)ˆm→0;则 (1/b)ˆn→1
或 (1/a)ˆm→1;则 (1/b)^n→0 （分数幂的性质）
所以
1≤(1-Pˆm)ˆn+(1-Qˆn)ˆm＜2
即
(1-Pˆm)ˆn+(1-Qˆn)ˆm≥1
证毕。
* * * * * * * * * * *
4.求 1²+2²+，，，+n²=m²,有唯一一组整数解。
分析：显然 n²，m²都是（面积）单位，因此只需从单位的理论出发，使数与形结合即可。
证
因为 1²+2²+，，，+n²=n(n+1)(2n+1)/6=m²若有整数解，
则
（1） [n/6(n+1)(2n+1)]=(ABC)²=A²B²C²
所以
（2）n=6A²
（3）n+1=6A²+1=B²
（4）2n+1=12A²+1=C²
由（3），（4）得：
（5）A²=（B²-1）/6
（6）A²=（C²-1）/12
因此得：
（7）2（B²-1）=C²-1
设 B+K=C,代入（7）式整理得：
（8）B²-2KB-(K²+1)=0
解方程（8）得：
2K±2（2K²+1）½
（9） B=---------------
2
若B为整数则：
（10） 2K²+1=J²
即 （11） J²-2K²=1
分解因式得：
（J+2√K）（J-2√K）=1
因此 J=3，K=2.
把K=2代入（9）式得：
B=5，B';=-1，B';=-1不符合题意舍去。
把B=5代入 （3）式得： n=24，
把n=24代入（4）式得： C=7，
把n=24代入（2）式得： A=2。
m=ABC=2*5*7=70
所以该方程只有一组整数解， n=24，m=70.
证毕。
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发表于 2012-3-29 11:33
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