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本帖最后由 elim 于 2019-6-15 09:01 编辑
首先,数是独立于其表示的。数是数系的元素,数系是对某些代数运算封闭, 满足某些代数公理的集合。
所以,数的概念以集合论为基础。那些反对实无穷集合的人,根本无法建立数的理论。例如通常所称的数论的论域是整数集。而整数集不是什么尚需扩充的东西。它包括所有整数。那种否定实无穷集合的存在性的人,是吧他主观感受到的东西取代他面对的无穷。他的感觉总是有限的,尚待扩充的,于是他断言无穷就是不断扩充的有穷。不过这么一来,他就不再能够作任何普遍的数学论断。因为普遍到包罗整个无穷论域的断言都没有意义:不存在无穷论域。
既然我们需要实无穷,而无穷集的元素显然不是人们能够逐一枚举完毕的。所以我们需要一条集合论公理:【无穷公理】这条公理是说,归纳集存在。归纳集是指这样的集合:空集 0 是其元素,且若集合 E 是其元素,那么 E ∪ {E} 也是其元素。集合论中又有一条定理:任何一族集合的交集是集合。于是全体归纳集的交集是集合 N= {0,{0},{0,{0}},{0,{0},{0,{0}}},. ...}, 假定 E ∈ N 记作 n, 则 E ∪ {E} 称为 n 的后继, 记作 n' = n+1. 容易知道,0‘ = 0+1 = 1, n'+m = (n+m)' = (n+m) +1, 0*1 = 0, m'n = mn+n 定义了 N 中的加法乘法. 并且N 满足皮亚诺自然数公理。这就构造了自然数模。自然数模是对加法和乘法封闭的数系,0,1 依次是加法,乘法的幺元。加、乘法满足交换律,结合律,乘法对于加法满足分配律 x(y+z) = xy+xz. 并且任意两个满足皮亚诺公理的代数系统 N, N* 是同构的(存在一一对应 φ:N→ N* 使得 φ(x+y) = φ(x)⊕φ(y), φ(xy)=φ(x)×φ(y). 因而在同构的意义上, 自然数系是唯一的。
现在我们来看看在数学中什么叫构造。构造就是从已知集合出发,通过集合的生成法则,集合运算以及对集合中元素的运算的定义,得到满足某种数系公理的模型。由此证明所论数系在代数同构的意义下的唯一存在。这里不涉及“逐一构造”,不涉及没完没了的修订增补,不涉及虚无缥缈,无谱可靠的潜无穷过程!
进一步,考虑一切自然数对的等价类 [m,n] = {(a,b): a, b∈N, a+n = b+m}. (容易证明 (a,b)~(c,d) 当且仅当 a+d=b+c 是自然数对全体中的等价关系)
定义 [a,b]+[c,d] = [a+c, b+d], [a,b][c,d] = [ac+bd, ad+bc], 则所论等价类全体在这种加法乘法之下构成整数环Z= {[m,n], m,n ∈N}。加法幺元是 [m,m] = [0,0], 乘法幺元是[1,0] = [m+1,m]. [m,n] 的加法逆元是 [n,m]. 即 [n,m] = - [m,n] . 一一对应 I :N → Z, I(n) = [n,0] 是 N 到 Z的嵌入. 于是整数环包含自然数模。
同理,在 Z×(Z-{0}} 中定义关系 (u,v) ~ (s,t) 当且仅当 u t = s v, 可证这是一个等价关系。记 (u,v) 所在的等价类是 <u,v>. 则 <u,v> + <s,t> = <ut+vs, vt>
<u,v><s,t> =<us,vt> 定义了等价类之间的加法和乘法,零元是 <0, 1>, 乘法单位元是 <1,1>., <u,v> 的加法逆元是 <-u,v>, 乘法逆元是 <v,u> (u ≠ 0). 规定 <u,v> > <0,1> 当且仅当uv > 0, < u, v> < <s, t> 当且仅当 <s, t> - <u,v> > <0,1>. 于是所论等价类全体在所论加法, 乘法及序关系下构成有序域. 叫做有理数域 Q. 它包含整数环 Z (又一次嵌入 z → <z,1>).
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