用《分角定理》解只有一个条件(不好用)的难题(14)

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似乎异想天开                                                                        实则其来有自
中学数学解题基本思路之一：《解题之路,自有题示.》
问题为何如此解出
数学无法搞假,能在纸上搞定.
用《分角定理》解只有一个条件(不好用)的难题(14)
已知：锐角△ABC,E点在△内,∠AEB=∠AEC㈠,G点在AE上，BG交AC于F,CG交AB于Q,连EF、EQ。
求证；∠AEQ=∠AEF㈡。
证明；㈠似乎不好用,但㈡暗示∠AEQ、∠AEF像是以AE为对称轴的两对称角,解此题的网友就照此作AD垂直AE,交AE延线于N,并使BN=DN,AN交BC于M。连ED，由㈠→∠MEB=∠MEC⑴, →C在DE上→BE=DE⑵,连AD,取AH=AQ,→DH=BQ⑶。连FH。
由AM、BF、CQ交于G, 此暗示就联想《塞瓦定理》→
(AQ/QB)•(BM/MC)•(CF/FA)=1⑷,由⑴→(BM/MC)=(BE/EC)⑵=(DE/EC)⑸,由⑶→(AQ/QB)= (AH/HD)⑹,
⑸⑹代入⑷→(DE/EC)•(CF/FA)•(AH/HD)=1,由《梅氏定理》逆定理→EFH为直线, →∠AEQ、∠AEF是以AE为对称轴的对称角,所以∠AEQ=∠AEF。证毕。
解法很简便,但添了线(BD、AD、EH),用了《塞瓦定理》《梅氏定理》。如果不添线.不用《塞瓦定理》《梅氏定理》,也能解吗?现用《分角定理》试试。
另证明：设∠AEB=α=∠AEC,∠AEQ=∠1,∠AEF=∠2, ∠BEQ=∠3,∠CEF=∠4,延AE交BC于M。
在△AGB内,GQ内分∠AGB,由《分角定理》→
(AQ/BQ)=(sin∠AGQ/sin∠BGQ)•(AG/BG), 同理有(BM/CM)=(sin∠BGM/sin∠CGM)•(BG/CG),
(CF/AF)=(sin∠CGF/sin∠AGF)•(CG/AG),三式相乘→(AQ/BQ)•(BM/CM)•(CF/AF)= (sin∠AGQ/sin∠BGQ)•
(sin∠BGM/sin∠CGM)•(sin∠CGF/sin∠AGF)=1,由对顶角相等。由㈠→∠BEM=∠CEM→(BM/CM)=(BE/CE)
→(AQ/BQ)•(BE/CE)•(CF/AF)=1⑴。
由EQ内分∠AEB,由《分》→(AQ/BQ)=(sin∠1/sin∠3)•(AE/BE),同理有(CF/AF)=(sin∠4/sin∠2)•(CE/AE),
两式相乘→(AQ/BQ)•(CF/AF)= (sin∠1/sin∠3)•(sin∠4/sin∠2)•(CE/BE) → (AQ/BQ)•(BE/CE)•(CF/AF)=
(sin∠1/sin∠3)•(sin∠4/sin∠2)=1由⑴。→sin∠1sin∠4=sin∠2/sin∠3→sin∠1sin(α－∠2)=sin∠2sin(α－∠1)
sin∠1sinαcos∠2－sin∠1cosαsin∠2)=sin∠2sinαcos∠1－sin∠2cosαsin∠1→sin∠1cos∠2= sin∠2cos∠1→
tan∠1=tan∠2,由∠1、∠2＜90°→∠1=∠2,即∠AEQ=∠AEF证毕。
请大家讨论,不延AE线,不用角平分线定理,是否还能解出此题?
0757-83210285,0739-2351089,0739-5344277           古稀老人        张光禄     2 006,6,21

wangyangkee

俞根强，新道学夭折了，也许是天意；俞根强，节哀顺变吧，，，可，闹蠢货，，，，好好闹哟，，，，