素数小猜: 存在k,使各位数字均为奇数的连续素数不超过k个.

無言 · 发表于 2006-6-29 21:39

K=7吗?
如:
3 5 7 11 13 17 19 (7个连续素数)
19973 19979 19991 19993 19997 (5个连续素数)
51131 51133 51137 51151 51157 (5个连续素数)
59753 59771 59779 59791 59797 (5个连续素数)
希望举出反例!

無言 · 发表于 2006-7-7 08:39

100万内至少还有一个k=7
391711 391717 391733 391739 391751 391753 391757

heyide1818 · 发表于 2006-7-7 11:54

这无疑是一个很有意思的猜想.
没有一个偶数字的连续素数的个数是否有界?
至少有一个偶数字的连续素数的个数是否有界?简称:
无偶连续素数的个数是否有界?
有偶连续素数的个数是否有界?

無言 · 发表于 2006-7-7 18:26

楼上理解&反三的透彻,谢谢参与!

unlise · 发表于 2006-7-8 18:11

这个问题确实有点意思.其实寻找这样的素数可以找末尾两位a如下:
01 03 07 09
21 23 27 29
41 43 47 49
61 63 67 69
81 83 87 89
且其余各位数均为奇数的合数,我们便可以得到一串连续的由奇数组成的素数.在100万以内确实找不到超过k=7的,但是理论上讲,如果这样的素数最大与最小者之间的差小于100的话.k值最大应为10.因为述这些数模3与模7后的最大交集为10个元素.但是超过100万,在长度为100的范围内均匀只有7个素数了.所以上述猜想对于100万以内的素数应该是成立的.

無言 · 发表于 2006-7-10 14:42

不错,如果其中刚好有两相邻素数相差超过200,2000,20000,……呢,k能超过7吗?此时的素数大到什么程度?

unlise · 发表于 2006-7-10 17:13

[这个贴子最后由unlise在 2006/07/12 11:52pm 第 2 次编辑] 这个问题非常有趣。我们可以考虑，对于一个充分大的数x，则它应是[lnx/ln10]+1位数，个位可能是1，3，7，9，最后一位只可能是，1，2，3，……，9等9个数字组成。如中间的各位当然可能是0，1，2……9 等10个数字组成。所以各位是奇数的最大排列数应为，4*5^[lnx/ln10]，而个位是，1，3，7，9[lnx/ln10]+1位数，其个数为，4*10^（[lnx/ln10]-1）*9。可知各位是奇数的数概率P=4*5^[lnx/ln10]/ 4*10^（[lnx/ln10]-1）*9=5/9*2^([lnx/ln10]-1)≈1/2^(lnx/ln10)。对于充分的数x，则素数的间距可以用lnx来估计。如果在x的邻近有k个素数，则如果这些素数各位都是奇数的概率为P^k=(1/2^(lnx/ln10)) ^k。很明显k不能趋近于无穷大，否则这k个各位都是奇数的概率将趋近于零。这说明k的确有界。我们如果要找到无数个这样的k使得各位数字均为奇数的连续素数不超过k个。则∑P^k＝∑(1/2^(lnx/ln10)) ^k必是发散的。这里的x趋近于无穷大。因为∑(1/2^(lnx/ln10)) ^k＝∑(1/x)) ^(kln2/ln10) 易知要使∑(1/x)) ^(kln2/ln10)发散，必须kln2/ln10<1。即k

無言 · 发表于 2006-7-11 11:52

unlise朋友费心了,
>>当lnx趋近于无穷大时，P趋近于（1/e）^k。如果k 趋近于无穷大。P将趋近于零。
你的证明,是支持k是有界的。不过,这只证明了“素数分布越来越稀”吧?好象还不能充分说明k无递增趋势,只有充分证明了k的收敛性,才能确定k是否有界.
商榷 : )

wangyangkee · 发表于 2010-6-8 06:30

俞根强，不愧为俞家好子孙---------
俞根强，爱数学；创立----夭折了------新道学；重创了俞家荣耀；

老天有眼，不让俞氏荣耀湮灭，，，给了俞根强闹蠢货的使命，，，

为了俞家的闹蠢货荣耀，，，，蠢货闹得，，，忍气吞声，，，，

		自动登录	找回密码
密码			注册