两人报数的博弈问题

luyuanhong

题  甲乙两人轮流报数，每人都只能报 1，2，3，5，7 中的一个，把两人报的
数累加，如果某个人报完数后，累加的和第一次达到三位数，那么这个人就获胜，
请问：谁有必胜策略？

解  如果我方报数后，累加的和达到某一点，使得下一步对方报数者必败，我方
必胜，则称此点为“胜点”。
    如果我方报数后，累加的和达到某一点，下一步对方报数者可以设法取胜，
使得我方失败，则称此点为“败点”。
    可以看出，99，98，97，96，95，94，93 都是“败点”，因为下一步对方
只要报数字 7 ，就可以使得累加和达到三位数，使得我方失败。
    92 是一个“胜点”，因为下一步对方无论报什么数，我方都可以报数字 7 ，
使得累加和达到三位数，我方就可以取胜。
    88 是一个“胜点”，因为如果下一步对方报 1，2，3，我方可以报 3，2，1，
抢到“胜点”92 ；如果下一步对方报 5，7，我方可以报 7，5，使得累加和为三
位数 100 ，我方也可以获胜。
    84 是一个“胜点”，因为如果下一步对方报 1，2，3，我方可以报 3，2，1，
抢到“胜点”88 ；如果下一步对方报 5，7，我方可以报 3，1，抢到“胜点”92 。
    80 是一个“胜点”，因为如果下一步对方报 1，2，3，我方可以报 3，2，1，
抢到“胜点”84 ；如果下一步对方报 5，7，我方可以报 3，1，抢到“胜点”88 。
    ……
    依此类推，可以看出，从 92，88，84，… 开始，一直到 4，0 ，凡是 4 的倍数
的累加和，都是“胜点”。
    而此外不是 4 的倍数的累加和，都是“败点”，因为这时对方可以设法报数抢到
“胜点”，使得我方失败。
    由于一开始的累加和为 0 ，是个“胜点”，所以下一步谁先开始报数，谁就会失败，
而第二个报数者，只要每次注意抢到“胜点”，就可以获胜。