设数列 { a[n] } 有递推关系 a[n+1]=B-Fa[n] ，求通项公式和极限

luyuanhong

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寻找一个数列的通项公式，常用的方法是：

先算出数列的前面若干项，设法寻找其中的规律，猜想出通项公式是什么样的，
然后用数学归纳法给予严格的证明。

例如满足 a[n+1]=B-F×a[n] 的数列，可以算出它的前几项为：
a[1]=B-F×a[0] ，
a[2]=B(1-F)+F^2×a[0] ，
a[3]=B(1-F+F^2)-F^3×a[0] ，
a[4]=B(1-F+F^2-F^3)+F^4×a[0] ，
a[5]=B(1-F+F^2-F^3+F^4)-F^5×a[0] ，
……
很容易根据规律，猜想出它的通项公式为
a[n]=B[1-F+F^2-F^3+…+(-F)^(n-1)]+(-F)^n×a[0]
    =B[1-(-F)^n]/[1-(-F)]+(-F)^n×a[0]
    =B/(1+F)-B(-F)^n/(1+F)+(-F)^n×a[0]
    =B/(1+F)+{a[0]-B/(1+F)}×(-F)^n 。