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[这个贴子最后由zhaolu48在 2006/07/03 07:49am 第 2 次编辑]
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推翻多位历史大家结论
创立乘法可换三维复数
历史上包括笛卡儿和高斯等著名大数学家都“找过代数空间点的三维‘复数’及其代数，但都未成功。”直到1843年，英国数学家哈密顿, 在他的《四元数讲义》中“创造了一类新数, 即四元数……a+bi+cj+dk”。可惜的是这种四元数不能与空间的点建立对应关系。
外尔斯特拉斯、戴特金、弗罗宾纽斯等，分别于1861、1870、1878年独立地获得了相近的结果, “如果保存普通代数的所有基本性质不变,要构成比复数更一般的数系是不可能的”. 弗罗宾纽斯还证明了,“满足乘法交换律以外的一切代数基本性质的超复数系,只有四元数一种.”
哈密顿给他的四元数乘法运算规定了如下两条法则：
1．i^2=j^2=k^2=-1
2．ij=-ji=k, jk=-kj=i, ki=-ik=j.
可以看出,第二条运算法则恰好是正交向量基底的向量积运算。如果按向量积运算法则，应有i^2=j^2=k^2=0，这与第二条法则矛盾。
凯莱还创立了一种八元数，其形式为a(0)+a(1)e(1)+a(2)e(2)+…+a(7)e(7)。规定：
e(1)^2=e(2)^2=…=e(7)^2=-1，e(i)e(j)也存在唯一的e(k)为其积(a(k)表示k为a的下标)。
外尔斯特拉斯、戴特金、弗罗宾纽斯是如何证明了他们的结论的，我没有条件并且也没有能力查阅。但我猜想他们一定是把他们的“要构成比复数更一般的数系是不可能的”这一结论，极大的可能是先把复数的形式确定为：
a(0)+a(1)e(1)+a(2)e(2)+…+a(n)e(n)，
并且规定
e(1)^2=e(2)^2=…=e(n)^2=-1，
e(i)e(j)也存在唯一的e(k)为其积。
在这个基础上证明了他们结论的成立。
可笔者构造的三维复数的一般形式为p=(a+bi)(c+dj)，i^2=-1，j^2=-1，但这两个-1不相等，这看上去是个笑话，但你仔细看一下我的陈述，就知道这是非常有道理，并且是充分反映了三维空间的几何性质。
即令i^2=(-1)(1)，j^2=(-1)(2)。把a+bi称为p的一级因子，c+dj为p的二级因子，从而(-1)(1)为一级因子中的-1，(-1)(2)为二级因子中的-1。
拉普拉斯在《数学概要》中指出：“只要代数同几何分道扬镳,它们的进展就慢,它们的应用就狭窄, 但是当这两门科学结合成伴侣时, 它们就互相吸取新鲜的活力, 从那以后,就以快速的步伐走向完善。”
因此引入超复数应与三维空间的点对应起来。
设三维复数p=(a+bi)(c+dj)与三维欧氏空间中的点P对应，点P的直角坐标为P(x,y,z)，对应的球坐标为P(r,θ,φ)。称i为一级虚数单位(或一级旋转单位)，j为二级虚数单位(或二级旋转单位)。与i^2*p对应的点为U(r,θ+π,φ)，即U(-x,-y,z)；与j^2*p对应的点为V(r,θ,φ+π)，即V(-a,-b,-c)。由此可知，i^2≠j^2。
这应该是我的一个重要发现，我认为她的价值绝不在哥猜之下。
在《近世代数》里对“环”的运算规定了乘对加满足分配律。可笔者构造的这种三维复数“遗憾”的是乘对加不满足分配律。但恰好是这个遗憾充分反映了三维向量的运算的规律，乘(向量的旋转)对加(向量的合成)就不满足分配律。
设以原点为起点的向量u的终点P对应的球坐标为(r,θ,φ)，把θ称为u的一级幅角,φ为u的二级幅角。如果把夹角为α的两向量u,v对应的三维复数分别乘同一二级幅角不为零的三维复数，则u,v的二级幅角增加同一值，根据三维向量的性质，u,v的夹角α一般会改变。因此对两向量先合成再使二级幅角增加β，与先把两向量幅角都增加β再合成，结果一般是不等的。因此笔者构造的这种三维复数乘对加不满足分配律的遗憾，是因为向量的乘运算对加运算就存在这种不满足分配律的“遗憾”。因此这种三维复数的乘对加不满足分配律的“遗憾”并不遗憾。
《近世代数》的研究者，在他们给定义环时，还没有发现乘对加不满足分配律的集合。如果当时他们发现了三维向量旋转对合成不满足分配律，对环的定义就不会再加这一条规定。
笔者对这种“遗憾”的发现，也应该是对数学的一个不算太小的贡献。
这里先作一点提示，详细请看上传的Word文稿。
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发表于 2006-7-2 09:13
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