二进制思想对考拉兹猜想的证明

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二进制思想对角谷猜想的证明 （王国权 南京钢铁联合有限公司） 角谷猜想（英语：Collatz conjecture），又称为3n＋1猜想、冰雹猜想、考拉兹猜想、哈塞猜想、乌拉姆猜想或叙拉古猜想，是指对于每一个正整数，如果它是奇数，则对它乘3再加1，如果它是偶数，则对它除以2，如此循环，最终都能够得到1。 转换成二进制考虑，即对于任何一个正整数，先转换成二进制数，如果尾数是1（奇数），则末位加2个0，并减去它本身再加1（即4a-a+1）;如果尾数是0（偶数），则舍去（即a2 ）最终得到1。 证明：先以正奇整数为研究对象（偶整数通过除以2转换都能转换成奇整数）对于一个正奇整数B(B>16,16以下数通过计算可以证明符合条件，且这个猜想最终的循环是16→8→4→2→1)。现在将B转换成二进制数A(a)，（A表示转换的二进制数，a表示该二进制数的位数，因为B>16，所以a>4且a∈N）。 因为A是奇数，所以第一次转换4A-A+1，A的位数变换为a+2-N1，（0≤N1≤1，N1表示4A-A+1过程中对a位数的影响），第二次转换偶变奇，即a+2-N1-1-M1（M1表示偶转奇过程中倒数2，3,4……位数连续是0的情况，M1≥0）。 经过X次的转换后a的变换情况为：a+2-N1-1-M1+2-N2-1-M2+2-N3-1-M3……+2-Nx-1-Mx即a+2x-x- （M1+ M2+ M3+ M4+……+ Mx）-（N1+ N2+ N3+ N4+……+ Nx） 对N情况进行分析，N为1的概率为12 ，N为2的概率为122 ，N为3的概率为123 ……N为k的概率为12k （k>0，且k<转换后的a），所以N为1的概率为SNk即12 +222 +323 +……+k2k =2- 12k－1 - k2k ，此数的递增的，又因为a>4，所以k>3，所以SNk>2- 123－1 - 223 即SNk>138 代入a的变换情况：a+2x-x- （M1+ M2+ M3+ M4+……+ Mx）-（N1+ N2+ N3+ N4+……+ Nx）即a-x- 138 x -（M1+ M2+ M3+ M4+……+ Mx）= a- 58 x- （M1+ M2+ M3+ M4+……+ Mx）,由于x→∞，所以a- 58 x-（M1+ M2+ M3+ M4+……+ Mx）是递减的，所以a最终的减少的，趋向于1，即A最终变成1，即B最终变成1.