设 ΔABC 的周长为 P ，面积为 K ，外接圆半径为 R ，求 KP/R^3 的最大值

luyuanhong · 发表于 2017-12-25 23:18

这是台湾网友 YAG 发表在“陆老师的《数学中国》园地”的一个帖子，

欢迎大家一起来想想如何解答：

波斯猫猫 · 发表于 2017-12-28 20:24

本帖最后由波斯猫猫于 2017-12-30 21:29 编辑

设 ΔABC 的周长为 P ，面积为 K ，外接圆半径为 R ，求 KP/R^3 的最大值.
思路：显然,由正弦定理易得p=2r(sinA+sinB+sinC)，由两边及夹角的三角形面积公式易得k=2r＾2 sinAsinBsinC；
故kp/r＾3=4 sinAsinBsinC(sinA+sinB+sinC)≤4×（1/27）×(sinA+sinB+sinC)＾3×(sinA+sinB+sinC)
=(4/27) ×(sinA+sinB+sinC)＾4
≤(4/27) ×〔（3√3）/2〕＾4=27/4.当且仅当A=B=C=π/3时等号成立，即取得最大值.

波斯猫猫 · 发表于 2017-12-29 15:58

本帖最后由波斯猫猫于 2018-1-1 11:08 编辑

∵ sinA+sinB +sinC+sin60°=2sin（A+B）/2×cos（A-B）/2+
2sin（C+60°）/2×cos（C-60°）/2≤2〔sin（A+B）/2+ sin（C+60°）/2〕=4sin（A+B+C+60°）/4×cos（A+B-C-60°）/4
≤4sin60°，∴ sinA+sinB +sinC≤3√3/2(A+B +C=180°).

波斯猫猫 · 发表于 2017-12-31 23:26

本帖最后由波斯猫猫于 2017-12-31 23:36 编辑

在网上查知，该题是第37届（2005年）加拿大数学奥林匹克试题第4题。与上述方法类似的解答者称，命题者给出的解答过程较繁。

luyuanhong · 发表于 2018-1-1 11:57

谢谢楼上波斯猫猫的解答。我已将帖子转贴到“陆老师的《数学中国》园地”。

下面是我的解答：

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设 ΔABC 的周长为 P ，面积为 K ，外接圆半径为 R ，求 KP/R^3 的最大值

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