从非标准分析的观点来看“无穷级数悖论”

luyuanhong

qingjiao

陆教授，提点意见：
1.您这里实质是将无限项数列当成有限项数列处理，换言之，任何有限项的数列都能产生同样的效果，即推出无矛盾，但这似乎与无限的定义或人们对无限的一般理解不符，那么那些根据一般无限项理解推出无矛盾的情况又该怎么解释？
2.既然您认为无穷大的运算与普通实数一样，那么应有1/Ω+1/(Ω+1)+...+1/2Ω≈log2Ω-logΩ=log2，因为它大致相当于f(x)=1/x在Ω和2Ω之间的积分。于是X=1-log2，是一个确切的数值。
事实上普通微积分就有一个确定的结论，交错数列1-1/2+1/3-1/4+...=log2，即1-X=log2，X=1-log2。因此按普通微积分的确切结论也是没有矛盾的，问题可能出在推导X=1之前的步骤。

luyuanhong

下面是两篇我过去在《数学中国》发表过的帖子。
其中第一篇帖子用到了 1-1/2+1/3-1/4+…＝ln2 这样一个已知的结论，
第二篇帖子不用这个现成结论，而是直接给出证明，这样就比较麻烦一些。

luyuanhong

下面引用由qingjiao在 2012/06/08 11:42am 发表的内容：
陆教授，提点意见：
1.您这里实质是将无限项数列当成有限项数列处理，换言之，任何有限项的数列都能产生同样的效果，即推出无矛盾，但这似乎与无限的定义或人们对无限的一般理解不符，那么那些根据一般无限项理解推出无矛盾的情况又该怎么解释？

denglongshan

有意思的问题

任在深

问题有意思！

qingjiao

陆教授的意思是否是，主贴之所以推出了矛盾，是因为对一个发散级数：
S=1+1/2+1/3+1/4+...进行了加减运算，而这是标准分析中不允许的？
那么，是否所有标准分析中没有矛盾的问题，非标准分析中也没有矛盾？
不过，完全没有矛盾的体系似乎是不存在的？非标准分析是否也有自己的矛盾？陆教授试举一例？

luyuanhong

[这个贴子最后由luyuanhong在 2012/06/10 05:17pm 第 1 次编辑]

下面引用由qingjiao在 2012/06/09 11:29pm 发表的内容：
陆教授的意思是否是，主贴之所以推出了矛盾，是因为对一个发散级数：
S=1+1/2+1/3+1/4+...进行了加减运算，而这是标准分析中不允许的？
那么，是否所有标准分析中没有矛盾的问题，非标准分析中也没有矛盾？
不过，完全没有矛盾的体系似乎是不存在的？非标准分析是否也有自己的矛盾？陆教授试举一例？

凡是严格建立的数学体系，在体系内部都是没有矛盾的，也不允许存在矛盾。
标准分析是一个严格建立的数学体系，所以在标准分析内部，是没有矛盾的。
主贴中推出所谓的“悖论”、矛盾，其实是偷偷地违背了标准分析中的规定。
在标准分析中有规定：对于发散的级数，不允许作加、减、乘、除运算，而
级数 S=1+1/2+1/3+1/4+… 就是一个发散级数，主贴违背了这一规定，对它作
加减，所以才会产生矛盾。显然，这一矛盾，不能算是标准分析内部的矛盾。
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非标准分析是由美国逻辑学家罗宾逊（Robinson）在 1960 年代初期建立起来
的一套不同于传统的标准分析的新的数学体系，它是通过非常严格的逻辑推理
步骤建立起来的，所以，在非标准分析内部，是没有矛盾的。
非标准分析，与传统的标准数学最主要的不同之点，就是它把“无穷大量”、
“无穷小量”作为具体的数，引入到数系中。在非标准分析中，“无穷大量”、
“无穷小量”，可以像普通的数一样，进行各种运算，不会产生任何矛盾，这
就带来了很大的方便。
在“陆老师的《数学中国》园地”中，有一个“《非标准分析》专题讨论与研究”
栏目，其中有许多我通俗介绍“非标准分析”的帖子，你如有兴趣，可以去看看：
http://www.mathchina.net/dvbbs/index.asp?boardid=9

qingjiao

luyuanhong