[求助]请教陆老师一个概率（？）问题

天茂

老师向学生宣布说：
在编号依次为1、2、3、4、5的5个盒子里放有一个球          （条件一）
但这个球在哪个盒子里对学生们将是一个意外                （条件二）
一个聪明的学生运用已经学到的逻辑知识做出了如下推理：
推理一：5号盒子不可能放有球。因为假如1至4号盒子都没有球的话，当我们在依次打开1、2、3、4号盒子的时候，就会事先知道了5号盒中有球，这与条件二矛盾。根据条件一，球只能放在1、2、3、4号盒中；
推理二：4号盒中也不可能有球，推理过程同上；
推理三：3号盒中也不可能有球，推理过程同上；
推理四：2号盒中也不可能有球，推理过程同上；
推理五：1号盒中也不可能有球，否则亦将与条件二矛盾。
由上述5个推理得出的结论是：5个盒中都没有球。
但是在事实上，球确实放在了在这5个盒中之一（比如在3号盒中），这并没有违反他宣布的两个条件。那么，这位学生的推理究竟错在哪里呢？

luyuanhong

老师说：“这个球在哪个盒子里，对学生们将是一个意外。”这句话，应该理解为
“当 5 个盒子全都没有打开时，学生们不可能知道球在哪一个盒子里。”
不应该理解为“在盒子逐步打开的过程中，不管是哪一步，只要盒子不是全部打开，
学生们总是不可能知道球在哪一个盒子里。”
因为在打开的过程中，当 4 个盒子打开时，学生们一定会知道球在那个盒子里。
如果老师说“条件二”的意思，真的就是说：“在盒子逐步打开的过程中，不管是哪
一步，只要盒子不是全部打开，学生们总是不可能知道球在哪一个盒子里。”
那么，“条件二”与“条件一”就是有矛盾的，因为当 4 个盒子打开时，如果球在这
4 个盒子里，学生当然就知道球在哪里了，如果球不在这 4 个盒子里，那么，学生
根据“条件一”，5 个盒子里必有一个球，可以推知球一定在第 5 个盒子里。所以，
这时学生们不可能不知道球在哪里。

天茂

[这个贴子最后由天茂在 2012/06/16 05:49pm 第 5 次编辑]

下面引用由luyuanhong在 2012/06/16 04:22pm 发表的内容：
老师说：“这个球在哪个盒子里，对学生们将是一个意外。”这句话，应该理解为
“当 5 个盒子全都没有打开时，学生们不可能知道球在哪一个盒子里。”
不应该理解为“在盒子逐步打开的过程中，不管是哪一步，只要　...

现在的问题是，即使学生按照第一种意思理解，但是，他在推理过程中，却可以假设盒子会逐步
打开，而并没有真的去打开。难道这种思维方式不对吗？

不妨我们将这个问题简化为下面的形式：

老师向学生宣布说：
在2个盒子（编号分别为1、2）里放有一个球                 （条件一）
但这个球在哪个盒子里对学生们将是一个意外                （条件二）
一个聪明的学生运用已经学到的逻辑知识做出了如下推理：
推理一： 2 号盒子不可能放有球。因为假如 1 号盒子没有球的话，我们就会事先知道 2 号盒
中有球，这与条件二矛盾。根据条件一，球只能放在 1 号盒中；
推理二： 1 号盒中也不可能有球，否则亦与条件二矛盾。
由上述推理得出的结论是： 2 个盒中都没有球。
但是在事实上，球确实放在了在这 2 个盒中之一，这并没有违反老师宣布的两个条件。那么，
这位学生的推理究竟错在哪里呢？

请教陆老师：即使我们将老师的“这个球在哪个盒子里，对学生们将是一个意外”这句话理解
为“当 2 个盒子全都没有打开时，学生们不可能知道球在哪一个盒子里。”难道学生不可以在
推理思考中假设 1 号盒中没有球吗？

天茂

下面引用由luyuanhong在 2012/06/16 04:22pm 发表的内容：
如果老师说“条件二”的意思，真的就是说：“在盒子逐步打开的过程中，不管是哪一步，只要盒子不是全部打开，学生们总是不可能知道球在哪一个盒子里。”
那么，“条件二”与“条件一”就是有矛盾的，……

我认为，“条件二”与“条件一”确实是有矛盾的，但不是百分之百的矛盾。
如果盒子有2个，“条件二”与“条件一”就有 50% 的矛盾；
如果盒子有5个，“条件二”与“条件一”就有 20% 的矛盾；
如果盒子有10个，“条件二”与“条件一”仅有 10% 的矛盾；
如果盒子有100个，“条件二”与“条件一”仅有 1% 的矛盾；
……
如果盒子有无穷多个，这个矛盾仅有0%，此时才能说，“条件二”与“条件一”无矛盾。
陆老师以为是这样吗？

luyuanhong

[这个贴子最后由luyuanhong在 2012/06/17 10:57am 第 1 次编辑]

下面引用由天茂在 2012/06/17 09:41am 发表的内容：
我认为，“条件二”与“条件一”确实是有矛盾的，但不是百分之百的矛盾。
如果盒子有2个，“条件二”与“条件一”就有 50% 的矛盾；
如果盒子有5个，“条件二”与“条件一”就有 20% 的矛盾；
如果盒子有10个，　...

按照一般的观念，两个命题，要么是矛盾的，要么是不矛盾的，好像没有什么
“百分之几的矛盾”这样的说法。不过，你上面所作的分析，还是有些道理的。
首先，不能把老师的话理解为：“当所有的盒子都没有打开时，学生们不可能
知道球在哪一个盒子里”。要把老师的话理解为：“在盒子逐步打开的过程中，
不管是哪一步，只要球还没有看到，学生总是不可能知道球在哪一个盒子里”。
然后判断：有哪些情况老师说的话符合实际，有哪些情况老师说的话不符合实际，
算出不符合实际的情况占百分之几，照你的说法，也就是“有百分之几的矛盾”。
因为只有当球在最后一个打开的盒子中时，才会与老师的说法发生矛盾，而球在
最后一个盒子中的可能性，随着盒子总数的增大，呈反比例减小，当盒子总数
趋于无穷大时，这种可能性趋于零，照你的说法，也就是“矛盾仅有 0%”了。

天茂

[这个贴子最后由天茂在 2012/06/17 05:11pm 第 5 次编辑]

谢谢陆老师的理解！
聪明学生的推理恰恰钻了这“百分之几的矛盾”的空子，并将其扩大化，由此得出了不合理的结论。
因此我认为，这个问题的产生肯定是由老师和学生双方共同完成的。
但如何分析这个问题，我一直想不出什么好办法来。
请陆老师指导。

天茂

对于这类题一般的理解：
“条件二”与“条件一”应该是是没有矛盾的，也就是有0%的矛盾；
“意外”也是完全的意外，100%的意外。
但是，这里的矛盾并不是0%，这里的意外也不是100%。
如果我们将“意外”理解为“猜不中”怎么样？这样好像就可以进行量化了。

ygq的马甲

哲学上有一个著名的例子——薛定谔的猫

天茂

下面引用由ygq的马甲在 2012/06/17 07:19pm 发表的内容：
哲学上有一个著名的例子——薛定谔的猫

1、这个例子不属于哲学问题，而是一个物理学问题。
2、这个例子与本帖讨论的问题无关。

天茂

[这个贴子最后由天茂在 2012/06/19 08:11am 第 1 次编辑]


从宏观上来看，从5个盒子中选一个盒子来放球，选中每个盒子的概率都是20%，但聪明学生
的推理竟然首先推得最后一个盒子不可能放球，说明这个推理肯定有问题。
但是从微观上来看，聪明学生的推理似乎是无懈可击，假设和推导都是合理的。但结果却不
合理。
从这个角度来看，也能说明问题肯定是出在老师宣布的两个条件上。