[求助]sqrt（1+x）有近似值吗？

emileo

想知道 （1+x）的平方根是否可以等于1+1/x？
多谢了

luyuanhong

[这个贴子最后由luyuanhong在 2012/06/17 08:13am 第 1 次编辑]

下面引用由emileo在 2012/06/17 07:24am 发表的内容：
想知道 （1+x）的平方根是否可以等于1+1/x？
多谢了

当 x 的绝对值很小时，有 √(1+x)≈1+x/2 。例如：
√(1+0.002)＝√(1.002)＝1.0009995…≈1.001＝1+0.002/2 ，
√(1+0.004)＝√(1.004)＝1.0019980…≈1.002＝1+0.004/2 ，
√(1+0.006)＝√(1.006)＝1.0029955…≈1.003＝1+0.006/2 ，
√(1+0.008)＝√(1.008)＝1.0039920…≈1.004＝1+0.008/2 ，
                …………
√(1-0.002)＝√(0.998)＝0.9989994…≈0.999＝1-0.002/2 ，
√(1-0.004)＝√(0.996)＝0.9979979…≈0.998＝1-0.004/2 ，
√(1-0.006)＝√(0.994)＝0.9969954…≈0.997＝1-0.006/2 ，
√(1-0.008)＝√(0.992)＝0.9959919…≈0.996＝1-0.008/2 ，
                …………

0-1110

陆老师看错题了......
解方程√(1+x)=1+1/x
(1+x)=(1+x)^2/x^2
(1+x)(x^2-x-1)=0
x1=-1
x2=(1+√5)/2
x3=(1-√5)/2

任在深

证：
  设：         ____                                               
   (1) f(X1)= √1+X
   
   (2) f(X2)=1+1/X
                          ___
  (1),(2)两式右边都除以 √1+X得:
  (3) f(X1)=1
              ____     
  (4) f(X2)=(√1+X)/X
       ______
  令 √1+X/X² =1,经整理后得：
  (5) X²-X-1=0， 解该方程得：
        1±√5          1+√5         1-√5
     x=--------，   x1=-------， x2=--------
          2               2             2
                1+√5         1-√5
  因此当仅当 x1=-----，或 x2=-------
                  2              2
      ___
    √1+X=1+1/X,才成立！ 其他任何实数都不成立！！
  证毕。

   
  
               
                 [br][br]-=-=-=-=- 以下内容由 任在深 在 时添加 -=-=-=-=-
哈哈！          ___
    俺随便除以√1+X,丢根了！
  还是0-1110高明呀！！
但题意不是单纯的解方程，是吧？

emileo

多谢各位啊
俺以为题太简单，没有人理呢。
多谢了。
恩，不是单纯的解方程。是想知道近似解的。不过，俺自己看文章貌似也太马虎了。
再次多谢两位！

emileo

不过，再问一句，二楼陆老师的近似解是通过什么傅里叶展开得到的嘛？是什么原理啊。。。多谢先！

luyuanhong

[这个贴子最后由luyuanhong在 2012/06/19 03:26pm 第 1 次编辑]

下面引用由emileo在 2012/06/19 02:14pm 发表的内容：
不过，再问一句，二楼陆老师的近似解是通过什么傅里叶展开得到的嘛？是什么原理啊。。。多谢先！

将函数 f(x)＝√(1+x) 在 x＝0 点展开为 Taylor（泰勒）级数，有
  f(x)＝√(1+x)＝1 + x/2 - x^2/8 + ｘ^3/16 - 5x^4/128 + …
当 x 的绝对值很小时，后面 x 的高次项都很小，可以忽略，所以有
√(1+x)≈1+x/2 。

drc2000

下面引用由0-1110在 2012/06/17 11:11am 发表的内容：
陆老师看错题了......
解方程√(1+x)=1+1/x
(1+x)=(1+x)^2/x^2
(1+x)(x^2-x-1)=0
...

的确，楼主原话，问的是“是否可以等于”而不是近似…，但后来楼主似乎又改变了问题的说法。
0-1110解法不错，但没有考虑增根的问题。实际上只有两实数根：－１与（１＋√5）／２
若问题为√（1+x）可否用1+1/x近似来逼近？
答案是否定的，(x≥-1)因为当x增大时√(1+x)也增大,但1+1/x却减小,所以用1+1/x来逼近√(1+x)是不妥的.
但是若用1+x/2来逼近,则不存在单调性不同的此情况.
用泰勒级数取近似值的方法,本质上是取切线,切线与原曲线在x=0处是无限接近的

任在深

》》》想知道 （1+x）的平方根是否可以等于1+1/x？《《《
   如果一个人的思维不混乱，那么楼主的问题应该是等于或恒等于！
   即        ___
           √1+X=1+1/X
   因此就要讨论 1定义域,2.值域，而不是简单地解方程！
   否则就直接列出方程式就可以了？！
        ____
       √X+1-1/X-1=0.
　　　看来楼主也不实在！

emileo

多谢啦，原来是泰勒级数展开。。。
呜呜，最后的定义是俺不实在吗？冤啊。。。
不过，另外明白了一件事情啊，就是严谨。。。