数学迷题

真的无奈

[这个贴子最后由真的无奈在 2005/03/23 06:08pm 第 1 次编辑]

小学错题,量你也解决不了.(开心一笑话)
三个相等圆均为10平方厘米，两两相交后占地20平方厘米，两两相交均交4平方厘米，求三圆重叠处是多少平方厘米？
(注意：这题太怪了，我认为是小学生的题目中的错题,)

zhouj

[这个贴子最后由zhouj在 2005/03/25 05:53pm 第 2 次编辑]

如果题出得正确,则:
三圆重叠处设为 x 平方厘米
两圆重叠是 x+y 平方厘米
x+y=4
3x+2y=30-20
x=2

真的无奈

[这个贴子最后由真的无奈在 2005/03/24 10:59am 第 2 次编辑]

错,这样的答案小学生有的也会做了,用不着来这问数学会的老师了.(开玩笑也有真的,我不说玩笑是没人去.....).答案经不起两条件的事实检验.有的小学奥数题也犯这样的错,大学教授也难明(我没提示前),小学教师更是解释也不明白.如果说你是数学会的老师,您多想点就会想到了,不过一定要带有否定的思想.

zhouj

[这个贴子最后由zhouj在 2005/03/25 05:55pm 第 1 次编辑]

如果三个相等圆均为10平方厘米，两两相交均交4平方厘米，
则
圆半径r=(10/π)^0.5
设两圆相交的公共弦所对的圆心角为θ（弧度）,
则这段弧对应的圆面积：
(θ/(2πr)) * S
              其中S为圆面积=π*r^2,
这块面积分两部分：
1. 靠圆心的一部分S1
2. 靠弧  的一部分S2
由“两两相交均交4平方厘米”得，
S2=2
S1=(θ/(2πr)) * π*r^2-2
以弧的端点作为端点的直线段长 w=2 Sin[θ/2] r
以弧的端点作为端点的直线段与圆心的距离 t=Cos[θ/2] r
因此
S1=w t/2=2 Sin[θ/2] r Cos[θ/2] r/2 =r^2 Sin[θ]/2
与上面推出的S1一起得到：
(θ/(2πr)) * π*r^2-2 = r^2 Sin[θ]/2
可解出 θ  
(注：r=(10/π)^0.5）
有θ后就有了AG (AG表线段长）和DG
AG=t=Cos[θ/2] r
DG=w/2= Sin[θ/2] r
设E与DG距离a,与GB距离b， (点与线距离定义:点到线上所有点的最小距离）
t=AG,d=GC,
则
( t + a )^2+b^2=r^2
a^2+(d-b)^2=r^2
解出两个解，取a大的一个，即正负号取“正”，
角q=EAB可以求出：
Sin[q]=b/( t + a)
于是
p=角EAD
=角BAD - q
=θ/2 - q
因此可得
面积DEA（弧）与三角形DEA的面积
其差记 u
则三圆重叠处面积是 3 u 加三角形DFE的面积,
三角形DFE是等边的，且容易求边长DE，所以可出求面积
( DE=2 r Sin[p/2] )

真的无奈

我下网后详说后复,上网要钱.一定

chendeling

我认为这题有问题。 设 三园相交面积为c，2园重叠部分为a+c a+c=4--> 3a+3c=12 6a+3c=10 这就有问题了，a<0

真的无奈

我在他论坛发下问:
大家想想如下三题那题对吧:
　１，三个相等圆均为10平方厘米，两两相交后占地１９平方厘米，两两相交均交4平方厘米，求三圆重叠处是多少平方厘米？
  ２，三个相等圆均为10平方厘米，两两相交后占地20平方厘米，两两相交均交4平方厘米，求三圆重叠处是多少平方厘米？
　３，  三个相等圆均为10平方厘米，两两相交后占地2１平方厘米，两两相交均交4平方厘米，求三圆重叠处是多少平方厘米？  
回答:
上面三个问题都没什么问题，都是可解的。答案分别为：
第1题：1平方厘米
第2题：2平方厘米
第3题：3平方厘米
又问:
"均为10"  "  两两相交均交4",   **老师没发觉有问题吗?如果 "三个相等圆均为10平方厘米，两两相交均交4平方厘米"  后必定只有一个答数.大家说对吗?
又回答:
经过考虑，这个题目是有问题的。
因为当圆面积确定下来以后，圆半径就确定了。当两圆重叠的面积确定以后，两圆的圆心距就确定了。这样，当两个圆两两重叠的面积都确定以后，三圆两两圆心之间的距离都确定了，即圆的位置是相对固定的，这样三圆重叠后所占的面积也确定下来了。而此时题目给出三圆重叠后所占的面积是多余的，如果与实际三圆重叠后所占的面积不相符，计算出来的结果也将是错误的。
然而圆心距是不容易求的，圆面积是10时，圆半径r=√(10/π)。设两圆相交的公共弦所对的圆心角为θ（弧度），两圆重叠的面积是4时，得到方程2(θr2/2-2rsin(θ/2)·rcos(θ/2)/2)=(θ-sinθ)r2=10(θ-sinθ)/π=4，这个方程是一个超越方程，没有简单的解法，这个方程的近似解是θ≈2.11313895890098。
到此,我还有问题,真正是我不明的问题,不知有无数学老师有心帮助我.(说明:我没学过大学数学)

zhouj

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真的无奈

,我还有问题,真正是我不明的问题,不知有无数学老师有心帮助我.主要是三圆重叠问题.

真的无奈

各位老师,谁能帮我?
三个相等圆,两两相切,围住一面积为X;三圆两两相交(相交面积相等),且只有一公共相交点时,其两两相交面积为Y.求的X,Y大小?