[求助]在区间[0,1]上的有理点和无理点的测度是多少？

yyl19790401

luyuanhong老师，我之前看到您回复我关于勒贝格积分的帖子，其中提到：
在区间[0,1]上，全体有理点的集合的测度是0，全体无理点的集合的测度是1，请问这是如何求解出来的？
全体有理点的集合的测度是0，我理解成在区间[0,1]上不存在有理点，因为有理点的区间的长度为0。但是这个理解很明显是错误的，不知道它错在什么地方？

yyl19790401

还有，我能不能这样理解：在区间[0,1]上，无理点集合的势比有理点集合大？或者说，无理点比有理点多？

任在深

注意！
     这些点都是以自然数为序列的！

yyl19790401

下面引用由任在深在 2012/07/05 09:07pm 发表的内容：
注意！
     这些点都是以自然数为序列的！

我问的是luyuanhong老师的意见，不是你的意见

luyuanhong

下面引用由yyl19790401在 2012/07/05 06:34pm 发表的内容：
luyuanhong老师，我之前看到您回复我关于勒贝格积分的帖子，其中提到：
在区间上，全体有理点的集合的测度是0，全体无理点的集合的测度是1，请问这是如何求解出来的？
全体有理点的集合的测度是0，我理解成在区间[0,1]上不存在有理点，因为有理点的区间的长度为0。但是这个理解很明显是错误的，不知道它错在什么地方？

因为 [0,1] 上有理数点只有可列无穷多个，而可列无穷多个点的测度是 0 ，
所以 [0,1] 上全体有理数点的测度为 0 。
空集的测度为 0 ，但测度为 0 的集合不一定是空集，所以，[0,1] 上有理数点
的测度为 0 ，并不等于说区间 [0,1] 上不存在有理数点。

yyl19790401

下面引用由luyuanhong在 2012/07/06 10:09am 发表的内容：
因为 上有理数点只有可列无穷多个，而可列无穷多个点的测度是 0 ，
所以 上全体有理数点的测度为 0 。
空集的测度为 0 ，但测度为 0 的集合不一定是空集，所以，上有理数点
的测度为 0 ，并不等于说区间 上不存　...

谢谢luyuanhong老师的解惑！

任在深

有意思？