为什么勾股数组的非平凡解（a，b，c）中的最大数c是奇数？

波斯猫猫

为什么勾股数组的非平凡解（a，b，c）中的最大数c是奇数？

luyuanhong

题  设 (a,b,c) 是互质的勾股数组，即有 a^2+b^2=c^2 ，且 a,b,c 互质，证明 c 必定是奇数。

证  用反证法，假设 c 是一个偶数，有 c=2k（k∈N），则有 c^2=(2k)^2=4k^2 。

    这时如果 a,b 都是偶数，有 a=2m ，b=2n（m,n∈N），则 a,b,c 有公因子 2 ，与已知 a,b,c 互质矛盾，

所以这种情形不可能。

    如果 a,b 一奇一偶，有 a=2m-1 ，b=2n（m,n∈N），则有

                           a^2+b^2=(2m-1)^2+(2n)^2=4(m^2-m+n^2)+1 ，

与 c^2=4k^2 矛盾，所以这种情况也不可能。

    如果 a,b 都是奇数，有 a=2m-1 ，b=2n-1（m,n∈N），则有

                      a^2+b^2=(2m-1)^2+(2n-1)^2=4(m^2-m+n^2-n)+2 ，

与 c^2=4k^2 矛盾，所以这种情况也不可能。

   因为各种情况都不可能，所以假设不成立，c 不可能是偶数，必定是一个奇数。

波斯猫猫

∵（a，b，c）是非平凡解，∴ a、b、c两两互素.
假设c是偶数，在a＾2+b＾2=c＾2中，由a，b，c两两互素
知a与b都是奇数，不妨令a=2m-1,b=2n-1（m、n∈N+）,
则c＾2 =（2m-1）＾2+（2n-1）＾2=2〔2（m＾2+n＾2-m-n）+1〕=2（2d+1）（d= m＾2+n＾2-m-n）.故c是无理数.这与假设c是偶数矛盾.∴ c是奇数.

天元酱菜院

如果c是偶数，a,b只能都是奇数

波斯猫猫

天元酱菜院 发表于 2018-1-3 13:02
如果c是偶数，a,b只能都是奇数

如果c是偶数，a,b只能都是奇数!?
这个是在于a，b，c两两互素。

朱明君

设x+y=z

z(y-x)=a
2xy=b
x^2+y^2=c

则a^2+b^2=c^2

其中y-x=奇数， 则 x^2+y^2=c(奇数),因为c是奇数,所以勾股数组(a,b,c)为两两互质