为何向量的运算没有“除法”？

波斯猫猫

众所周知，一个复数除以一个非零复数得到一个复数，复数在复平面内可以用一个向量来表示，它们是一一对应的。与此对应，在向量的运算中就应该有向量除以向量的运算。那么，为何在向量的运算中只定义了向量的加法、减法、数乘向量、数量积与向量积？

denglongshan

定义了向量商，学术界不认可，具体可以下载我的论文。

天元酱菜院

向量内积的逆运算不唯一； 向量外积的（两个）逆运算也不唯一。

denglongshan

上楼：
1开平方根也不唯一

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搜索向量商

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选自李涛博士论文

宇宙无理数

向量的乘法（无论点乘还是叉乘）都不构成群，因此无法定义除法。但是在一些特殊情况下可以引入除法。

宇宙无理数

指的是形式除法。只要这种形式除法可以把向量空间中的向量形式地转换成为对应数域的运算即可，前提是这个数域可以构成乘法群。

宇宙无理数

宇宙无理数 发表于 2021-11-9 17:01
向量的乘法（无论点乘还是叉乘）都不构成群，因此无法定义除法。但是在一些特殊情况下可以引入除法。

指的是形式除法。只要这种形式除法可以把向量空间中的向量形式地转换成为对应数域的运算即可，前提是这个数域可以构成乘法群。

denglongshan

宇宙无理数 发表于 2021-11-10 08:12
指的是形式除法。只要这种形式除法可以把向量空间中的向量形式地转换成为对应数域的运算即可，前提是这个 ...

上图中，\(\frac{\overrightarrow{AB}}{\overrightarrow{BC}}=\frac{\overrightarrow{A_1B_1}}{\overrightarrow{B_1C_1}}\Rightarrow\begin{cases}
\frac{\overrightarrow{AB}}{\overrightarrow{A_1B_1}}=\frac{\overrightarrow{BC}}{\overrightarrow{B_1C_1}}\\
\overrightarrow{AB}\overrightarrow{B_1C_1}=\overrightarrow{B_1C_1}\overrightarrow{BC_{ }}
\end{cases}\cdot\)
显然，分式有几何意义，而乘积没有