从 A,B 两盒中取球 n 次，求这 n 次中同时取得红球的次数

luyuanhong

题  设有 A,B 两个盒子，各有 n 个乒乓球，其中 A 盒内有 a 个红球，n－a 个白球；
B 盒内有 b 个红球，n－b 个白球。现在每次从 A 和 B 中各取一球，放在外面，共取
了 n 次，将两盒中的乒乓球取完。问：在这 n 次中，同时取得红球的次数是多少？

解  在 n 次中同时取得红球的次数，是一个不确定的随机数。
    这个次数最多可以达到 min{a,b} 次，也就是说，如果 a≤b ，则最多可以有 a 次
同时取得红球，如果 b≤a ，则最多可以有 b 次同时取得红球。
    这个次数最少为 max{a+b-n,0} 次，也就是说，如果 a+b≥n ，则最少有 a+b-n 次
同时取得红球，如果 a+b≤n ，则最少可能没有一次同时取得红球。
    如果用概率来计算在 n 次中同时取得红球次数的平均值，则可以这样计算：
    A 盒中有 n 个球，其中有 a 个红球，每次取到红球的概率为 a/n 。
    B 盒中有 n 个球，其中有 b 个红球，每次取到红球的概率为 b/n 。
    所以，每次从 A,B 中同时取到红球的概率为 a/n×b/n＝ab/n^2 ， 在 n 次取球中
同时取得红球次数的平均值为 ab/n^2×n＝ab/n 。

重生888

请问陆老师：同时取得红球次数的平均值为 ab/n^2×n＝ab/n 。是否有误？

luyuanhong

下面引用由重生888在 2012/07/25 08:42am 发表的内容：
请问陆老师：同时取得红球次数的平均值为 ab/n^2×n＝ab/n 。是否有误？

你觉得哪里不对？

baikai

感觉上，好像有些不对：按题意，应是不放回的随机抽取古典概型。
                      而陆老师的解法，像是解有放回的随机抽取问题。
又好像，是否放回的随机抽取问题，其结果好像可能是不一样的。
但不过，假如机械按部就班的仿真不放回的概率计算，就像是高次二项式要展开一样复杂难求算。
又像怪，我真机械做只抽取 2 次的展开计算，希望看到不同结果。但化简后结果与陆老师一样。（难敲而没敲出）
        因此也真不知道真相。
也不知，在现代概率及其模型发展的天花乱坠的今天，那古老的典型概率问题，是否也像数论问题一样，摆在那就是难啃动。

重生888

谢谢陆教授！我错了！

baikai

1楼中说：
如果用概率来计算在 n 次中同时取得红球次数的平均值，则可以这样计算：
   A 盒中有 n 个球，其中有 a 个红球，每次取到红球的概率为 a/n 。
   B 盒中有 n 个球，其中有 b 个红球，每次取到红球的概率为 b/n 。
但是，我们现实的来看：①第1次抽取，无疑是正确的。
                      ②第2次抽取，因为前面已经抽走了求，
                                   故抽取到红求的概率显然将不会再是a/n或b/n.
                                   即这是个变化了的有条件的后续了的概率。
                      ......（继续）......
                      最后，是多少、怎么能计算，不知道。

luyuanhong

问题  盒子中有 n 个球，其中有 a 个红球，其余是白球，从中每次取一个球，取后不放回。
    第 1 次抽取，取到红球的概率是 a/n 。问：第 2 次抽取，取到红球的概率是多少？

解答  第 1 次抽取，有两种结果：
（一）第 1 次取到的是红球，发生这种情况的概率是 a/n 。
    取后盒子中剩下 n-1 个球，其中有 a-1 个红球，在这种情况下，第 2 次抽取，取到
红球的概率为 (a-1)/(n-1) 。
（二）第 1 次取到的是白球，发生这种情况的概率是 (n-a)/n 。
    取后盒子中剩下 n-1 个球，其中有 a 个红球，在这种情况下，第 2 次抽取，取到
红球的概率为 a/(n-1) 。
    把上面两种情况综合起来，可以求得第 2 次抽取，取到红球的概率为
      a/n×(a-1)/(n-1)＋(n-a)/n×a/(n-1)
　　＝(a^2-a)/[n(n-1)]＋(na-a^2)/[n(n-1)]
    ＝(na-a)/[n(n-1)]
    ＝a(n-1)/[n(n-1)]
　　＝a/n 。
    可见，第 2 次抽取，取到红球的概率仍然是 a/n 。
    其实，第 3 次、第 4 次、…、第 n 次抽取，取到红球的概率都是 a/n 。

baikai

的确如陆老师说，好像单独看A合，不管第几次抽取，得红球的概率都是a/n。
                我计算的更笨，将AB合合起来而不是分开来，只计算到第2次，就偷懒没下去算。
看来，算法和结论可能正确。
但好像也没能从正反消除疑惑：①若原题是说每次抽取后就放回（并捣乱），也取n次，那么结论是一样，还是不一样？
                            ②放回与否，在此就统一为一样？
                                        什么情况不一样？什么情况会一样？
      我都想不通，自己怎么会搅合这折腾死人、折磨活人的要死不活的数学，还像爱的有些死缠。
                  也因此没有了前些时那股非弄它个水落石出的精神，止于2而连个3都不试试。

gxwz

其实这是隐含哥猜的一个概率问题，或者说哥猜是这个问题的一个特殊例子，从陆老师的分析结果看，存在着最少可能没有一次同时取得红球。似乎说明哥猜可能不存在？或者说不能用概率理论来证明哥猜？但实际上陆老师又说到平均值的结果，事实也说明，随着偶数越来越大，构成的素数对就越来越多！这似乎又可以说概率理论的有效性！

ysr

是吗？可以用与哥猜吗？其实只要素数是无穷多，切分布越来越稀，哥猜就成立，必然有至少1对素数对，事实上，正如您所说“随着偶数越来越大，构成的素数对就越来越多！”其中会有少量反跳，个别大的偶数的素数和对会略少于比他小的偶数！