四边形分成面积 a1,a2,a3,a4 四部分，证明：若｜a1-a3｜＞｜a2-a4｜，则 a1+a3＞a2+a4

luyuanhong

这是台湾网友 YAG 发表在“陆老师的《数学中国》园地”的一个帖子，

欢迎大家一起来想想如何解答：

波斯猫猫

四边形分成面积 a1,a2,a3,a4 四部分，证明：若｜a1-a3｜＞｜a2-a4｜，则 a1+a3＞a2+a4。
思路：记AC∩BD=O，则a1=（1/2）OAOBsanα，a3=（1/2）OCODsanα，a2=（1/2）OAODsanα，a4=（1/2）OCOBsanα。
∴ a1a3=a2a4。（1）
由 ｜a1-a3｜＞｜a2-a4｜平方并结合（1）易得
a1＾2+a3＾2＞a2＾2+a4＾2。（2）
又由（1）得2a1a3=2a2a4。（3）
（2）+（3）得a1＾2+2a1a3+a3＾2＞a2＾2+2a2a4+a4＾2，
∴｜a1+a3｜＞｜a2+a4｜,即a1+a3＞a2+a4。（∠AOB=α,a1、a2、a3、a4∈R+）

天元酱菜院

波斯猫猫 发表于 2018-1-5 13:43
四边形分成面积 a1,a2,a3,a4 四部分，证明：若｜a1-a3｜＞｜a2-a4｜，则 a1+a3＞a2+a4。
思路：记AC∩BD=O ...

思路很漂亮。
补充一点:  （记AC∩BD=O），
既然AC直线过O点，可把AO看做a1部分和a4部分的底，OC看做a2部分和a3部分的底
如此，a1部分与a2部分有共同的高，所以  a2 : a1 =OC : AO
同样，a4部分与a3部分有共同的高，所以 a3 : a4 = OC : AD
所以，a2:a1=a3:a4, 同样获得a1*a3 = a2*a4
以下继续按你的思路来。

luyuanhong

谢谢楼上 波斯猫猫 和 天元酱菜院 的解答。

我已将帖子转贴到“陆老师的《数学中国》园地”。