请教：一个无限大的数集，“无限缩小”后的结果如何？

塞上平常心

下面是邬家邦先生的《3N+1猜想》“9.1  可无限缩小的考察范围”：

对无限大的奇数集无限缩小后，相对原来的奇数集，缩小后的数集的大小如何判断呢？

塞上平常心

蔡家雄 发表于 2018-1-6 16:33
谢谢楼主的分享！

主贴好像说明，3x+1问题 不可能 被最终解决？！

不是。
只是觉得，邬家邦老师的结论有点问题，睡醒是肯定的，缩小到什么程度没有说明白。

塞上平常心

蔡家雄 发表于 2018-1-6 17:44
问题是：无论缩小到什么程度，该组的奇数也同样的无限多！！！

对。因此“无限缩小”在这里没有什么意义。衡量一个无限大数集的大小，应该用其他方法。
对于3N+1猜想而言，有不少研究者采用了缩小考察范围的手段。我希望看到较好的睡醒考察范围的研究。

塞上平常心

蔡家雄 发表于 2018-1-6 17:44
问题是：无论缩小到什么程度，该组的奇数也同样的无限多！！！

合理地适度压缩考察范围有时可以简化问题。压缩是有条件的，盲目的压缩不一定有效。邬家邦老师的书似乎是国内唯一的比较全面的介绍了Collatz问题的研究成果的专著，功不可没。只是在介绍中有时用词不够恰当，“无限压缩”就是一个例子。
无限多的奇数，结果这样“无限压缩”之后仍然是一个无限大的数集A（我们姑且用A代表这个数集），显然，数集A的每个元素都对应着奇数集内的无限多个元素。但是，我们不能说奇数集是数集A的无限倍。
发现考察范围能够压缩，但是要不要压缩，压缩到什么范围，达到什么目的？邬家邦老师没有说，之后也没有进一步的介绍。看来老师没有认真考虑这个问题。从最后对奇数的分组也可以看出，老师没有仔细斟酌，各组的数字有重复，不够严谨。
我想许多数学家、专业人士与业余爱好者研究这个问题，肯定也有人考虑过压缩考察范围。可惜，我能够接触到的文献资料少的可怜。内蒙科技大学郝生旺老师研究该问题多年，他认为，Collatz问题是一个“整体性质的证明问题”，将证明范围减缩到m=3(mod6),引入基段概念，又对序列分类、分段……最后给出了他的证明。
我赞成郝生旺老师的思路。不过，他的压缩结果似乎有点缺陷。既然认识到这是一个整体性的证明问题，压缩后最好能够建立一个比较清晰的数学模型，一个可以计算、处理、证明的数学模型将成为文明证明的基础。