现行小学数学教材植树问题解法弊端多多

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现行小学数学教材（注1）求直线植树问题的计算方法分三类：
（1、）若两端都栽，植树棵数等于间隔数“加1”。
（2、）若两端都不栽，植树棵数等于间隔数“减1”。
（3、）只栽一端，植树棵数等于间隔数.。
求封闭形（池塘四周）植树问题时，植树棵数等于间隔数。
众所周知，一些点拉紧了可成为直线，封闭了可围成圆形等。为什么同样长度的植树地段，植树间距长度又相同，圆形的和直线的植树棵数不相同呢？
笔者认为：无论直线的还是圆形的，如果它们的植树段长度相同，植树间距长度又相同，那么，它们的植树棵数必然相同，且是它们的间隔数。笔者认为教材中求圆（封闭）形植树棵数的方法是正确的，求直线植树棵数的方法值得怀疑，或者是误解。
一个简单的实验：
拿2条同样长10米的绳子（接头除外），围成2个圆周同样长10米的圆。然后，在2个圆周上每隔1米各画1个点（表示栽1棵树），每个圆周上共10个点，也就是代表栽10 棵树。接着，用两种不同的方法把圆周剪开：第一种，在其中一个圆周上10个点中的任意1个点的正中间剪开，拉成直线；第二种，在那个圆周上10个点中的任意2个点之间正中剪开，同样拉成直线。把2条同样长度的线段放在一起。
你发现了什么？发现了两种不同的结果。
第一种剪法，很像现行小学数学教材植树问题中的“两端都栽”的题型解答。笔者把它抽象为“端点”法。
至于第二种剪法，笔者认为属于“中点”法解题思路，笔者把它起名为“间距中点”法（注2）。它是植树问题完美的解法，“间距中点”法理解清晰，只要从该植树总段任意一端的第一个间距中点处植下第一棵树（“端点”法是在该段端点处植下第一棵树的），以下依次按间距长度个数种植（与“端点”法类似），这样，距另一端的最后一个间距中点处就刚好植完了计划所植的树。另一方面，从算理上分析，可以先求出该植树段含有多少个这样的间距，然后在每个间距的中点植树。用这种方法植树，植树棵数正好等于间隔数。
笔者认为，“端点”法解答植树问题缺乏实践支撑。
若两端都栽，它的植树思路是：先植该植树段起点（两端点中的任意一端）的那棵树，然后分别按间距长度找点植树，那么，当植到最后一棵树时，刚好植在该植树段的终点（另一端点），因此，植树棵数等于间隔个数“加1”。从算理上分析，就是先求出该植树段的间隔数，然后在间隔数上“加1’。用这种方法植树，植树棵数等于间隔数“加1”。
用“端点”法植树疑点多多，首先，植在两端点的是2个半棵树（注3），实验中图示也直观所见，难道植树可以超越地界吗？其次，若2端都栽，分别有2端点的各半棵树必然植在不属于规定的植树地界内，合起来刚好是“1”棵树，就是“加1”法执意加上去的那棵树（注4），为什么一定要“加1”？再次，树木是有生命的物体，植树（出题）时所规定的间距，科学地为各类树种提供至少足够的生长空间，“二分之一间距”也许是每棵树冠充足的覆盖半径，植在两端点的那些树木，无法保证足够的生长空间（注5），何以活？
有人可能会说，教材不是“具体情况具体对待”吗？
是的，教材的确采取以下两种方法弥补：
若两端都不栽，植树棵数等于间隔数“减1”；若只栽一端，植树棵数正好等于间隔数。
首先，这两种方法都是“加1”法的化身，都是“端点”的翻版，都以“端点”为基准，以间距长度为单位建立的若干个模来确定植树点的，与“加1”法纯属同一根源。
拿两端都不栽来说吧，它是由“加1减2”的植树思路得来的，假设两端都栽而间隔数上加1，而实际两端都不栽再减去2，因此，植树棵数等于间隔数“减1”。采用这种方法植树，虽然没有把树栽在两端点上，但是确实浪费了植树面积。对照“间距中点”法思路求得的植树棵数等于间隔数，而“减1”法思路求得的植树棵数等于间隔数减1，这不是明明浪费了“1”棵树的植树面积吗？
再拿“只栽一端，植树棵数正好等于间隔数”来说，它看起来很完善，理由很充分，而且计算结果也与“间距中点”法思路得出的相同，其实它也是弊端多多。首先，它是由“加1减1”的植树思路得来的，假设两端都栽而间隔数上“加1”，而实际只栽一端再减去1，抵消以后，植树棵数刚好等于间隔数。其次，只栽一端，那么肯定有一端是栽在端点上，范了两端都栽，植树棵数等于间隔数“加1”的错误，也就是说，它必定有半棵树栽在不属于规定栽种的地界内。再次，另一端栽在何处呢？它肯定栽在距另一个端点刚好一个间距的位置上，因此，它浪费了半棵树的植树面积，范了两端都不栽，植树棵数等于间隔数“减1”的错误。实际上，这种方法是通过一端“强占半棵树”的植树面积，另一端“浪费半棵树”的植树面积，相互抵消后才出现“植树棵数正好等于间隔数”的结果。
笔者认为，在植树问题上，“间距中点”法与“端点”法即“加1”（“减1”）法的分歧焦点在于栽种“点”的位置关系上。“间距中点”法解题思路是把每一棵树都栽在每一个间距的“中点”；而现行教材的“加1”（“减1”）法恰规定把每一棵树都栽在每一个间距的“端点”。是非曲直？学术界自然会有定论，历史自然会有定论！
植树不仅仅是找一个点，普通农民都知道，水稻要种在大田里，不会种在田埂上；蔬菜要种在菜畦上，而不是种在畦沟里。即使仅仅种植一棵菜苗，也应把它种在穴中，而不是种在穴边上。那些“田埂上、畦沟里、穴边上”与线段的“端点”不是相类似吗？当然，“大田里”、“ 畦上”、“ 穴中”与“中点”也很类似。
“间距中点”法思路是科学的完美的植树解法思路，经得起实践的检验。
第一、按“间距中点”法思路植树，每棵树都享有均等足够的生长空间，植树（出题）时规定的间距，科学地为各类树种提供充足的覆盖半径，有利于树木生长，符合植物生长的自然规律。
第二、采用“间距中点”法思路植树，与封闭图形植树计算公式完全一致，即植树棵数等于间隔数（注6）。出题时也不必写上“两端都栽”、“两端都不栽”、“只栽一端”这些本不该有的附件说明。
第三、采用“间距中点”法思路植树计算，还与平面植树计算方法相互印证（注7）。即植树总面积除以每棵树所占面积的商（求平面植树棵数）等于行距间隔中点数乘以列距间隔中点数的积（求平面植树棵数）。
例：要把一块长120米，宽80米的荒地开垦后建成果园，以行距5米，列距4米，栽种一批果苗，一共需要多少棵果苗？
1、按间距中点法计算（即行距中点和列距中点的连线交点栽）：
（1）：（120÷5）×（80 ÷4）=480（棵）
（2）：（120÷4）×（80 ÷5）=480（棵）
2、按植树总面积÷每棵所占面积计算：
（1）：（120×80）÷（5×4）=480(棵)
（2）：（80×120）÷（4×5）=480(棵)
按“间距中点”法和按面积比计算，它们不但植树棵数相同，而且植树点也完全重合。因为行距中点连线和列距中点连线的交点刚好与这个5×4或4×5的长方形两条对角线的交点相重合。
“中点”法与“端点”法都是思维方法，笔者认为用“端点”法思路解答直线植树问题的方法弊端多多，植树问题“加1”（“减1”）的计算方法值得商榷。“间距中点”法思路解答直线植树问题的思路才是正确的，计算直线植树的公式应该是：植树总长度÷间距长度=植树棵数。
除此之外，笔者认为还应理顺植树问题与间隔问题的关系。间隔问题种类很多，如：插小旗、敲时钟、登楼梯、锯木头、立线杆等。间隔问题根据具体情况“加1”（“减1”）是客观实际的，是非常必要的。而植树问题是间隔问题的一种特殊类型，树不该栽种在两端点上，应该栽种在间隔的中点。更不要把插小旗、敲时钟、登楼梯、锯木头、立线杆等间隔问题归属于“植树问题”旗下。
综上所述，“间距中点”法不但解决了“加1”（“减1”）法在植树问题上的弊端，而且与圆形等封闭图形植树棵数计算方法相一致，还与面积植树计算的结果相重合。“间距中点”法的确是植树问题完美的解法，“间距中点”法取代“加1”（“减1”）法势在必行。

注1、《义务教学课程标准实验教科书〈数学〉四年级下册》（人民教育出版社）。
注2、《植树问题“加1”（减1）法探讨》，《中小学数学小学版》2009年12期。
注3、《植树问题解法商榷》，《管理观察》2009年20期。
注4、《对植树问题“加1”法的再认识》，《教学月刊》小学版2009年3期。
注5、《植树问题解法之我见》，《当代商报“中外教研周刊”》2010年5月22日期。
注6、《植树问题“加1”（“减1”）法再探析》，《成功教育》2009年第9期。
注7、《全是“加1”法作的祟》，《广东教育》综合版2011年7-8期。

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