设 a,b,c 为方程 x^3+2x-1=0 的三个根，求 a^2/(1-a)+b^2/(1-b)+c^2/(1-c) 的值

luyuanhong

这是台湾网友 YAG 发表在“陆老师的《数学中国》园地”的一个帖子，

欢迎大家一起来想想如何解答：

谢芝灵

x^3+2x-1=0
解得三根关系得：
ab+bc+ac=2
a+b+c=0
abc=1
再解得
a^2+b^2+c^2=-4


a^2/(1-a)+b^2/(1-b)+c^2/(1-c)
=[a^2(1-b)(1-c)+b^2(1-a)(1-c)+c^2(1-a)(1-b)]/(1-a)(1-b)(1-c)
=[a^2(1-b-c+bc)+b^2(1-a-c+ac)+c^2(1-a-b+ab)]/(1-a-b+ab)(1-c)
=[a^2+b^2+c^2+abc(a+b+c)-ba^2-ca^2-ab^2-cb^2-ac^2-bc^2]/(1-a-b-c+ab+ac+cb-abc)
=[a^2+b^2+c^2+abc(a+b+c)-ba(a+b)-ca(a+c)-cb(b+c)]/(1-a-b-c+ab+ac+cb-abc)
=[-4+0-ba(0-c)-ca(0-b)-cb(0-a]/(1-0+2-1)
=(-4+3)/2
=-1/2

luyuanhong

谢谢楼上 谢芝灵 的解答。我已将帖子转贴到“陆老师的《数学中国》园地”。

fungarwai

luyuanhong

谢谢楼上 fungatwai 的解答。我已将帖子转贴到“陆老师的《数学中国》园地”。