请计算高手提供连乘Π[(p-1)/(p-2)]的值

njzz_yy

咱手工算前几个：
P                      Π[(p-1)/(p-2)]
3                       2
5                       8/3=2.66666666666667
7                       48/15=3.2
11                       480/135=3.555555555556  
13                       5760/1485=3.878787878787878788
17                       92160/22275=4.013737373737374
19                      1658880/378675=4.38074866310160

wangyangke

终极答案  2lnp

wangyangke

连乘积Π[(p-1)/(p-2)]的终极答案  2lnp，没有不同的意见么？

愚工688

r=  3         Π[(p-1)/(p-2)= 2
  r=  5         Π[(p-1)/(p-2)]= 2.666667
  r=  7         Π[(p-1)/(p-2)]= 3.2
  r=  11        Π[(p-1)/(p-2)]= 3.555556
  r=  13        Π[(p-1)/(p-2)]= 3.878788
  r=  17        Π[(p-1)/(p-2)]= 4.137374
  r=  19        Π[(p-1)/(p-2)]= 4.380749
  r=  23        Π[(p-1)/(p-2)]= 4.589356
  r=  29        Π[(p-1)/(p-2)]= 4.759332
  r=  31        Π[(p-1)/(p-2)]= 4.923447
  r=  37        Π[(p-1)/(p-2)]= 5.064117
  r=  41        Π[(p-1)/(p-2)]= 5.193966
  r=  43        Π[(p-1)/(p-2)]= 5.320648
  r=  47        Π[(p-1)/(p-2)]= 5.438885
  r=  53        Π[(p-1)/(p-2)]= 5.545529
  r=  59        Π[(p-1)/(p-2)]= 5.642819
  r=  61        Π[(p-1)/(p-2)]= 5.738461
……
  r=  379       Π[(p-1)/(p-2)]= 8.071582
  r=  383       Π[(p-1)/(p-2)]= 8.092767
  r=  389       Π[(p-1)/(p-2)]= 8.113678  
……
  r=  80449     Π[(p-1)/(p-2)]= 15.43153
  r=  80471     Π[(p-1)/(p-2)]= 15.43172
  r=  80473     Π[(p-1)/(p-2)]= 15.43191
  r=  80489     Π[(p-1)/(p-2)]= 15.4321

实际上偶数M的素数对（单记）数量的素因子系数(即波动系数）是远远小于Π[(p-1)/(p-2)]的值的，因为这里的p是偶数含有的素因子，有Π(p)＜M/4.  （ p＜√M）

wangyangke

2ln41=7.700295203                         7.700295203 /5.19366=1.4826
2ln379=11.87507                             11.87507   /8.071582=1.4712

2ln80489=22.59175                          22.59175/15.4321=1.4639

问题更明朗了；感谢愚公688的劳动！


还好，比值在缩小

wangyangke

熊一兵的诗作裹着一对傻瓜蛋：熊一兵、鲁思顺

大傻8888888

wangyangke 发表于 2019-7-9 09:41
连乘积Π[(p-1)/(p-2)]的终极答案  2lnp，没有不同的意见么？

1/Π[(p-1)/(p-2)]=Π[(p-2)/(p-1)]=Π(p-2)/Π(p-1)=｛Π[(p-2)/p]｝/｛[Π[(p-1)/p]｝=Π(1-2/p)/Π(1-1/p)=Π[1-1/（p-1）^2][Π(1-1/p)]^2/Π(1-1/p)=Π[1-1/（p-1）^2]Π(1-1/p)         其中p≥3
当p趋近无限大时，Π[1-1/（p-1）^2]就是拉曼纽扬系数等于0.6601618158.......
（1/2）Π(1-1/p) 根据梅滕斯定理当p趋近无限大时，（1/2）∏(1-1/p)～e^(-γ)/lnp  其中e^(-γ)等于0.56145948...........
据此可以求出Π[(p-1)/(p-2)]≈1.34713lnp
1.34713ln41= 5.18665              r=  41        Π[(p-1)/(p-2)]= 5.193966
1.34713ln379=7.99863             r=  379       Π[(p-1)/(p-2)]= 8.071582
1.34713ln80489=15.217           r=  80489     Π[(p-1)/(p-2)]= 15.4321
前面是根据wangyangke先生的数值计算的，右边是愚公688先生的数值。计算值小于实际值，不过还是比较接近的。数值越大计算值应该越接近实际值。

愚工688

愚工688 发表于 2019-7-10 06:29
r=  3         Π[(p-1)/(p-2)= 2
  r=  5         Π[(p-1)/(p-2)]= 2.666667
  r=  7         Π[(p ...

不能！
我只会使用QBasic 程序编程，使用 DATA 语句输入素数，而程序对 DATA数据库有大小限制，故不能。
这个计算是很快的，几乎立刻得出。
若使用随机生成素数的方法，则能计算到更大的素数p，但是也很费时间，计算到3000多万需要近一天时间，计算到1亿需要近3天。（计算素数发生率时）
例：计算到2亿的 Π[(p-1)/p 前后化了近一个星期 。p1是其倒数。
p( 11077000 )= 199963483 , p1= 34.04287524225468 ,  π ( 11077000 )= .0293747221080404
p( 11078000 )= 199982351 , p1= 34.04304548004313 ,   π( 11078000 )= 2.937457D-02
p( 11078936 )= 199999991 ，p1= 34.04320480897339 ，π ( 11078936 )= .0293744377361444


曾经计算过的数据：（这里的k(x)就是你所需要的计算值）
以x内的素数计算的素数发生率 ：  
x= 10       p= 7        π(p-1)/p ≈ .228571     k(x)≈ 3.2
x= 100      p= 97       π(p-1)/p ≈ .120317     k(x)≈ 6.2834
x= 1000     p= 997      π(p-1)/p ≈ .080965     k(x)≈ 9.35330
x= 10000    p= 9973     π(p-1)/p ≈ .060885     k(x)≈ 12.4396
x= 100000   p= 99991    π(p-1)/p ≈ .048753     k(x)≈ 15.5353
x= 1000000  p= 999983   π(p-1)/p ≈ .040638     k(x)≈ 18.6374
x= 10000000 p= 9999991  π(p-1)/p ≈ .03484      k(x)≈ 24.8106  
x= 1E+08    p= 99999989 π(p-1)/p ≈ .031869     k(x)≈27.1824  (用时约3天,1天约计算到3800万)

lusishun

愚工688 发表于 2019-7-10 14:31
不能！
我只会使用QBasic 程序编程，使用 DATA 语句输入素数，而程序对 DATA数据库有大小限制，故不能 ...

例：计算到2亿的 Π[(p-1)/p前后化了近一个星期，

您为什么对，用这个公式这么有兴趣吗？是因为，相对的精确，   
  是吗？
为什么相对的精确呢？？？

wangyangke

下面是引自一项统计结果