浅谈施特劳斯猜想

费尔马1

例如，4/7=4*4/7*4=16/28
16=7+7+2
∴4/7=1/4+1/4+1/14

正整数集中，每个k/n都可以等于k-1个单位分数之和。n＞1
例如，5/7=1/2+1/14+1/14+1/14；
6/11=1/3+1/6+1/66+1/66+1/66
………………………………………………………………
5/7=5*2/7*2=10/14
10=7+1+1+1
∴5/7=7/14+1/14+1/14+1/14=
1/2+1/14+1/14+1/14；
5/7=5*6/7*6=30/42
30=7+7+2*7+2
5/7=1/6+1/6+1/3+1/21
6/11=6*6/11*6=36/66
36=22+11+1+1+1
∴6/11=1/3+1/6+1/66+1/66+1/66
6/11=6*18/11*18  分母11*2*3*3
108=11*3*3+2*3+1+1+1
108=11*3*3+3+3+2+1
∴6/11=1/2+1/33+1/198+1/198+1/198
6/11=1/2+1/66+1/66+1/99+1/198
兰德纸草有关:
3/5   3*2/5*2
6=5+1
3/5=1/2+1/10
3/6         3=1+2       2*3
3/6=1/6+1/3
3/7不成立，∵3/p，当p为6n+1型的素数时，3/p不是两个埃及分数的和。

定理:正整数k＞3，n＞1时，k/n可以分成两个或多于两个的任意个数的埃及分数之和。
4/107=1/27+1/5778+1/5778，
4/107=1/28+1/749+1/2996，
4/107=1/29+1/348+1/37236，
4/107=1/30+1/321+1/1070，
4/107=1/29+1/428+1/3103+1/6206+1/12412，
4/107=1/29+1/428+1/6206+1/6206+1/6206+1/12412，
4/107=1/29+1/3103+1/3103+1/3103+1/3103+1/3103+1/3103+1/3103
+1/3103+1/3103

4/2069=1/518+1/535871+1/1071742
4/19373=1/4844+1/46921406
+1/93842812
4/2063=1/561+1/2129016
+1/2129016
施特劳斯猜想:
正整数n＞1，则，每个正整数n都可以符合下式:4/n=1/x+1/y+1/z
x、y、z为正整数。
证明:①当p、p1、p2、p3……为
6n+1型素数时，
3/p或3/p1*p2*p3*……不能分成两个埃及分数（证明从略）；
②除①中的分数之外，其它的分数都可以分成两个埃及分数，分成三个埃及分数，分成四个埃及分数……分成n个埃及分数。
证明:举例法，
一个分数分成两个埃及分数，
4/107=1/27+1/2889；
由两个埃及分数变为三个埃及分数，
4/107=1/27+1/2889
=1/27*1/2+1/27*1/2+1/2889
=1/54+1/54+1/2889；
由3个埃及分数变为4个埃及分数，
4/107=1/54+1/54+1/2889
=1/54+1/54+1/2889*1/2+
1/2889*1/2
=1/54+1/54+1/5778+1/5778
……………………………………………………
按照上面的方法，只要把式子中的任何一个埃及分数一分为二，就能把4/107陆续分成两个、三个、四个、五个……n个埃及分数的和。
同理，任何一个真分数，只要能把它分成两个或三个（指3/p，p为6n+1型的素数）埃及分数的和，就能把它陆续分成n个埃及分数的和。然而，确实每个分数（不含3/p，p为6n+1型的素数）都能分成两个埃及分数，
又，3/p，p为6n+1型的素数都能分成三个埃及分数，
所以，4/n分成三个埃及分数是必然的。

这种裂项的方法还只是其中的一种，其实，只要把一个分数先分成两个埃及分数，再把其中的一个直接一分为三也可以，一分为四，一分为n都是可以的。
例如把1/k=（1/k）*3/3=
3*（1/3）（1/k）=3*（1/3k）=
1/3k+1/3k+1/3k

费尔马1

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