我的H—构形不可免完备集的证明

雷明85639720

我的H—构形不可免完备集的证明
雷  明
（二○一八年元月二十八日）

1、H—构形的定义：
通过一次或两次坎泊的颜色交换技术，不能从5—轮轮沿顶点中空出A、B、C、D四种颜色之一的图就是H—构形。
2、H—构形中各链的关系：
H—构形中的A—C链和A—D链都是连通的，所以不能进行交换，也就不可能空出A，C，D三色中的任何一种颜色；H—构形中的B—C链和B—D链虽然都不连通，但两链又不能同时交换，所以也就空不出颜色B来。由A、B、C、D四种颜色可能构成的A—B、A—C、A—D、B—C、B—D、C—D六种色链中，现在就只有A—B链和C—D链是可以交换的了。
3、可交换的链的可能分布：
因为A—B链和C—D链又是一对相反的色链，所以是不能相互穿过的，即是不可能相交叉的。因此，可交换的A—B链和C—D链，对于H—构形的关键顶点（图中的加大顶点）1B，2A，3B，4D，5C，6C，7D，8A，以及待着色顶点V来说，如果存在对于图五边形的对称轴（2A和V及8A的连线）对称的A—B环形链，就不可能有对称的C—D环形链；反之，也一样，如果存在对于图五边形的对称轴（2A和V及8A的连线）对称的C—D环形链，就不可能有对称的A—B环形链；或者是A—B链和C—D链二者都不是环形链。
4、不可免构形的种类及可约性：
a类构形；有经过A—C链和A—D链的共同顶点2A和8A的、且是对称分布的A—B环形链（如图1）的图，交换环形的A—B链一侧的经过4D和5C或者经过6C和7D的C—D链（断链交换），都可使两条连通链同时断开，都可以使图变成K—构形而可约。至少也有一条经过4D和5C的C—D链是可以交换的。

b类构形：有经过A—C链和A—D链各链末端顶点5C和4D的，或者经过A—C链和A—D链除了共同顶点2A和8A以外的其他任何四个中途顶点的对称分布的C—D环形链（如图2）的图，交换环形的C—D链一侧的、经过2A或8A的A—B链（断链交换），也都可使两条连通链同时断开，都可以使图变成K—构形而可约。至少也有两条经过2A和8A的A—B链是可以交换的。
c类构形：没有任何的环形链（如图3和图4），A—B链和C—D链都是直链，不可交换；而B—C链和B—D链虽都不是连通链，但又不能同时交换，所以也不能同时移去两个同色B。在这种情况下，我们就只能先交换其中的一个关于B的链（转型交换），使图转型。因为图3和图4实际上是同一类的构形，只是左右互相调换了一下位置，所以我们就只研究其一图3就可以了。


①　若对图3从顶点1交换B—D链（如图5，a。属转型交换），是一个可以同时移去两个同色D的K—构形。再从顶点4交换D—A链（如图5，b。属空出颜色的交换，在这里也可叫转型交换），不产生从顶点1到3的D—B连通链，可以从顶点1交换D—B链（空出颜色的交换），同时移去两个同色D，把D空出；也可以从顶点3交换B—D（空出颜色的交换），把B空出。只所以对图3从顶点1交换B—D链后的图5，a，是一个可以同时移去两个同色D的K—构形，是因为对其再进行逆时针转型交换（从顶点4交换D—A）后，得到了一个经过五边形三个顶点2A、4A、5C和待着色顶点V构成的A—C环，这时其相反链B—D一定是不连通的，一定是可以空出D或B来的。

②　若对图3从顶点3交换B—C链（如图6，a。属转型交换），是一个有环形链A—B的、峰点是D，两个同色是C的构形，这就是上面的b类H—构形，是可约的。图3中本来就有一条经过顶点2A、1B到顶点8A的A—B链；当从顶点3交换了B—C链后，就使得顶点6C和与顶点2A相邻的一个C色顶点都变成了B色顶点，形成了从顶点2A到顶点6B的A—B链；正好使得2A、1B到顶点8A的A—B链，连结上了从顶点6B到顶点2A的A—B链；形成了一条环形的A—B链。也就使图变成了b类H—构形而可约。
这里的证明，我们用的图3和图4都是33个顶点的图，而我们前几次证明时都是用的15个顶点的图（如图3撇和图4撇），所得到的结论都是相同的。即对于c类构形，无论是进行那个方向的转型交换，得到的都只有两种结果：一种是使图变成了可以同时移去两个同色D（或C）的K—构形（如图5撇），另一种是使图变成了有环形链A—B的、峰点是D（或C）的、两个同色是C（或D）的b类H—构形（如图6撇）。由此看来，证明时要用顶点数最少的“最小构形”，使得达到“构形最小”还是有道理的，因为它容易看清楚各链间的相互关系。



以上研究的是c类构形中非对称结构的构形，对于其中的对称结构的构形（如图7）（a类和b类构形以上研究的都只是对称结构的构形，而没有非对称结构的构形），也应是采用转型交换法进行着色。


但这个对称结构构形的图，无论从那个方向进行交换，第一次交换的结果仍是一个对称的c类构形（如图8），第二次交换的结果才是一个非对称的c类构形（如图9）。第三次交换后图就变成了一个有环形的A—B链的、峰点是1C的、两个同色是D的b类H—构形（如图10）。再对图10从A—B环内交换C—D链（如图11），图就可以变成K—构形而可约。


以上非对称结构的c类构形，都是只进行一次转型交换，就可以得到K—构形或者是b类H—构形结构的图，而对称结构的c类构形则要进行三次转型交换后，才能使图变成b类H—构形。比非对称结构的构形多交换了两次，而且所多的两次交换，正好是构形类型不发生变化的两次交换。是不是所有的对称结构的c类构形都要经过两次不转型的交换呢，这可真的难说明白；但可以肯定，一定是有限次的，且次数不大。这要等我们研究了任何图的逆时针颠倒和顺时针颠倒次数的和之后，再来回答这个问题。现在还是回答不了的。



当以上各类构形均成为九点形时，则a类构形就是图12，是一个无论先从那个B色顶点进行交换，都可同移去两个同色B的K—构形；b类构形就是图13，仍然是一个b类H—构形；c类构形就是图14和图15，是要有选择性的先从某一个B色顶点进行交换，再从另一个B色顶点进行交换，才能同时移去两个同色B的K—构形；对称性的c类构形则是图16的十点形，这也是一个可同时移去两个同色B的K—构形。现在看来，可以把对称结构的c类构形单独列为一个类别也是可以的，因为它的着色方法还是有别于非对称结构的c类构形的。
现在我们已经从分析图中各链的相互关系入手，列举了各种可能的组合形式，证明了H—构形从构形结构上去分，只有三种类型的构形，并由这三种类型的构形构成了H—构形的不可免集。也证明了该集中的各个不可免构形都是可约的，这也就证明了四色猜测是正确的。说明了我们对H—构形的分类时所依据的“构形结构不同，解决办法相应不同”的原则是正确的。我们对于什么是H—构形的定义也是正确的。

雷  明
二○一八年元月二十八日于长安

注：此文已于二○一八年元月二十九日在《中国博士网》上发表过，网址是：

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lzmaks

支持先生！希望先生的证明早日得到数学界的认可！不知先生对角谷猜想有何看法？数学家说现代数学无法证明角谷猜想，先生觉得呢？我觉得其中的算术规律被深深隐藏，先生觉得怎样才能揭示这种规律呢？期待先生高见！