n 为正整数，2n 有 40 个正因数，3n 有 42 个正因数，问：6n 有几个正因数？

luyuanhong

下面是台湾网友 YAG 在“陆老师的《数学中国》园地”上发表的一个帖子，
欢迎大家一起来想想如何解答：

drc2000

风花飘飘给出了答案48，以下给出解答过程：
设n标准分解为:
   n=(2^x)(3^y)*p(其中p是除2,3之外的分解项)
则2n=(2^(x+1))(3^y)*p
  3n=(2^x)(3^(y+1))*p
  6n=(2^(x+1))(3^(y+1))*p
以上3个数的因式个数分别为x+2)(y+1)*Q
(x+1)(y+2)*Q
(x+2)(y+2)*Q
(其中Q是因式个数的公因数)
依题意x+2)(y+1)*Q=40
       (x+1)(y+2)*Q=42
而40,42的正的公因数只有1和2,
当[br][br]-=-=-=-=- 以下内容由 drc2000 在 时添加 -=-=-=-=-
[br][br]-=-=-=-=- 以下内容由 drc2000 在 时添加 -=-=-=-=-
Q=1时,解得符合题意的解为x=6,y=4
当Q=2时,解为无理数,不符合题意
综上6n的因式个数为6+2)(4+2)*1=48

drc2000

[这个贴子最后由drc2000在 2012/12/06 09:43pm 第 1 次编辑]

下面引用由风花飘飘在 2012/12/06 08:42pm 发表的内容：
您的解答过程是错误的！
谁都不能一开始就直接认定n一定含有素因子2和3。

事实上，写成(2^x)(3^y),与是否含素因子2和3没多大关系.
我也没说一定含含素因子2和3
但是n一定可写成(2^x)(3^y)m的形式,
比如35就可写成(2^0)(3^0)*5*7,
其中2^0=1,3^0=1,
题目整个作法,与n是否含素因子2和3没多大关系.
怪我没多写几句话>>>>>>

luyuanhong

上面 drc2000 的解答很好，我已将此解答转贴到“陆老师的《数学中国》园地”。

drc2000

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