推导三维本原同余数一般公式及其判定定理

guanchunhe

推导三维本原同余数一般公式及其判定定理 关永刚 关春河 （清华大学电机系100084 黑龙江省龙江县发达中学 161102） 摘要：通过运用初等数论方法，把同余数问题从二维空间推广到三维空间。推导出三维本原同余数一般公式及其判定定理。阐明了各类三维同余数之间的关系，全面解决了三维同余数相关问题。 关键词：三维同余数，三维本原同余数，三维本原同余数公式，三维泛本原同余数，三维整同余数。 1．引言 ‘同余数问题是三大千年数论难题之一。’［1］由于我们推导出了本原同余数一般公式［2］，且又推导出本原同余数的基本判定定理［3］。因此，同余数的核心问题得到解决。［文4］把同余数的定义域由正整数扩展到有理数［4］，这是非常合理的。但［文4］未能清晰地阐明数域扩展后各类同余数之间的关系。我们在［文5］中完成了这项工作。所以，传统意义上的同余数问题得到彻底的解决。现在，我们进一步研究［文4］对同余数给出的定义：同余数是三边均为有理数的直角三角形的面积。在此不难看出，同余数与勾股定理密切相关。在［文6］中，我们利用空间直角坐标系，把传统意义上的勾股定理定义为二维勾股定理，进而推广出三维勾股定理，四维勾股定理。于是，传统意义上的同余数就是与二维勾股数相对应的二维同余数。那么，与三维勾股数，四维勾股数相对应，就应该存在三维同余数，四维同余数。仿照二维同余数的解决方法，我们已经解决了三维同余数的相关问题，推导出以下主要结果。 2．主要结果 ⅰ 三维同余数定义：三维同余数是四面均为有理数的直角四面体的体积V. 当V为不含立方因子的有理数F时，称F为三维泛本原同余数。当F又为正整数E时，称E为三维本原同余数。 当V为为正整数m时，称m为三维整同余数，当 m又为不含立方因子的正整数E时，称E为三维本原同余数。 ⅱ 三维本原同余数一般公式为：E=36tk(t+k)/ W^3 其中：（t,k)=1, t为奇数，k为正整数。且满足W^3（最大）|36tk(t+k). ⅲ 三维本原同余数基本判定定理：对于一个不含立方因子的正整数E，如果存在一个正整数 w使得方程6Ew^3=tk(t+k)有满足(t,k)=1的正整数解，那么E是三维本原同余数。否则，E为非三维本原同余数。 证明 (限于篇幅，证明过程略） 利用这个公式，我们可以计算出全部的三维本原同余数。限于篇幅，我们只取t<10,k<10, 可得如下部分三维本原同余数函数表 t k12345678910 191290572521215495 325——1420——3544——65 553152030——55702340105—— 7252213513867091——140215355 91533——78105——21204——285 在n<200以内,不含立方因子的正整数共有167个。其中三维本原同余数有且只有82个，它们分别是： 1 2 5 7 9 12 13 14 15 19 20 21 22 26 30 31 33 35 37 38 41 43 44 47 49 51 55 57 58 61 62 65 66 68 69 70 75 77 78 79 83 84 85 86 90 91 92 97 98 99 100 103 105 109 110 115 117 119 126 131 133 138 140 145 154 155 157 161 163 165 169 170 173 174 177 182 186 187 188 190 194 195 由三维本原同余数判定定理，可直接推出下面4个推论： 推论1： 任一个有理数的立方都是三维同余数。 推论2：当x为奇数，y为正整数时，型如m=3x^3+2y^3的正整数一定是三维整同余数。 推论3：当x为奇数，y为正整数时，型如m=3x^3-2y^3的正整数一定是三维整同余数。 推论4：当x为奇数，y为正整数时，型如m=2x^3-3y^3的正整数一定是三维整同余数。 3．结束语 仿二维同余数的解决方法，我们也可以彻底解决三维同余数相应问题。类似地，我们也可以解决四维同余数相应问题。至于同余数问题是否能够推广到五维空间及以上空间，还有待进一步探讨。 参考文献： [1]、胡作玄，《从毕达哥拉斯到费尔马》，[M]。 河南科学技术出版社，1998年。104页， 140页，37页。 [2]、关永刚，关春河，《 推导本原同余数公式 》，[J]。长春师范学院学报，2005（4） [3]、关永刚，关春河，《本原同余数的判定》，[J]。赤峰学院学报，2006（4）。 [4]、冯祥树，《本原勾股数与本原同余数表的构造》，[J]。太行学刊，1994（2）。 [5]、关永刚，关春河，《本原同余数的推广》，[C]。第八届全国初等数学研讨会论文集，2012，8 [6]、关春河，《空间勾股定理及空间勾股数》，[J]。齐齐哈尔大学高师理科学刊，2007（4）。 [7]、潘承洞，潘承彪，《初等数论》，[M]。北京大学出版社，1992年。

guanchunhe

为了方便各位朋友了解同余数，给出几个相关链接。
http://news.tsinghua.edu.cn/publish/news/4207/2012/20120912150937683216154/20120912150937683216154_.html
http://resource.jingpinke.com/details?uuid=ff808081-2d07d139-012d-07d175b0-3188&objectId=oid:ff808081-2d07d139-012d-07d175b0-3189
http://blog.sina.com.cn/s/blog_6a26429701011u6w.html

guanchunhe

http://www.zxxk.com/ArticleInfo.aspx?InfoID=169890

熊一兵

祝贺祝贺！！！

guanchunhe

"针对解开BSD猜想时必须要回答的问题（即「是否存在同餘数」（congruentnumber）），田野说：「存在无数个同餘数」，首次给出了答案的线索。田野连续用5个多小时来进行证明，他说，「我也是在一个月前才得出了这个结论」。"
这段话有几个地方让人不解：
1“是否存在同餘数”。关于同余数的资料很多，都给出过许多同余数。不知这里为什么还会提出这样的问题。
2“存在无数个同餘数”。已有的资料中已经给出：如果A是本原同余数，那么，对于任一正整数m，Am^2一定是正同余数。这已经明确了有无数个同余数。那么，田野的所谓证明还有意义吗？

熊一兵

收在我的QQ空间上了，很是不错的原创

guanchunhe

同余数问题与费尔马大定理都是直接由勾股定理扩展而来。所以它的重要意义不言而喻。可是由于历史的原因，同余数问题在社会上影响甚微。现在在学界只有极少数的专家在研究这个问题，而且进展不大。现在这些权威的普遍见解是：同余数问题只有用椭圆曲线理论才能解决。事实上，这是一个把研究方向引入歧途的认识。用椭圆曲线理论根本就不可能解决同余数问题。
换一种思路，用初等方法完全可以彻底解决同余数问题。而且，在解决传统意义上的同余数问题的基础上，还可以把同余数问题从二维空间，推广到三维空间乃至四维空间。从而开拓出新的数学研究领域。

guanchunhe

http://www.hanspub.org/journal/PaperInformation.aspx?paperID=9682