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模30余11,13,17,19四类数和的分布

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发表于 2019-7-9 09:37 | 显示全部楼层 |阅读模式
在线性方程中x+y=2n,求它符合条件的正整数解的组数,限制条件是x,y必须是模30余11,13,17,19其中的一类数。给出通项求解公式(不是具体的解,是求有几组解的通项公式),指出模30的偶数中那类余数没有解,如判断一下30m+2的偶数类是否有解。
这道线性方程正整数解得组数问题有点难,但是比起哥德巴赫猜想来说,就容易多了。
有兴趣的可以试着做些分析和解答。
 楼主| 发表于 2019-7-11 18:19 | 显示全部楼层
特征值合成        -4        -2        2        4
-4        -8        -6        -2        0
-2        -6        -4        0        2
2        -2        0        4        6
4        0        2        6        8
这是以中心值(中项代替四类数参与运算)后,离中心距离的分布情况,第一列和第一行是参与运算的特征值,主要部分是合成结果,它表示离中项合成结果的距离和出现次数。
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 楼主| 发表于 2019-7-11 18:25 | 显示全部楼层
离中心        统计
-8        1
-6        2
-4        1
-2        2
0        4
2        2
4        1
6        2
8        1
这是上楼出现数统计结果,如果用实际数置换中项后,就得到这种分布情况,严格按此比例出现(或分配),意思是说,如果某偶数在上述四类数中项和中有一组解,则对应偶数(有离中心值加上中项和结果对应的偶数)就有如上统计倍数的解(严格按统计结果形成比例关系)。
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 楼主| 发表于 2019-7-11 18:38 | 显示全部楼层
打个比方,偶数210在其中项中有10组解,当实际四类数参与运算后,则出现此数与中项和结果出现上楼数字比例,在假设210在中项中有10组解,则实际四类余数参加时,有4*10=40组解,即实际四类运算结果是中项运算结果的4倍,所以上楼的统计结果就是9类偶数的比例关系,它是中项和为1组时,四类数实际参与运算后得到的解的组数(对应偶数是中项和结果+离中心值)。

所以我们只研究中项15m的加法合成结果分布即可。
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 楼主| 发表于 2019-7-11 18:47 | 显示全部楼层
对于正整数解的组数有一个普遍使用的公式就是=1/(m-1)!*系数*符合条件元素个数的^m/n,这里的m是运算元数,即有几个数参与加减运算,n是范围值。可以套用此公式找到此贴的求解公式(不是具体解,是指有多少组解),因为此题是二元加法运算,所以1/(m-1)!=1,就不显示它了,那系数如何求得?留给读者,这里符合条件的元素个数=INT(n/30+0.5),即在半周期时出现一个值。
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 楼主| 发表于 2019-7-12 09:21 | 显示全部楼层
对中项15x而言,条件2只能合成能整除它的数;条件3也是只能合成能整除它的数;条件5同样也是只能合成能整除它的数;所以中项的和只能合成2*3*5=30m的偶数,非30的倍数都不能合成,根据系数=周期*合成比例,因为它们都只有一种合成方法,所以合成比例为100%,周期即它们的积=2*3*5=30,所以合成系数=30,合成数量=系数*符合条件的元素个数^2/n,推出n=30m的偶数正整数解得组数是=30*(30m/30)^2/(30m)=30*m^2/(30m)=m,即30m的数在中项参与运算时,有m组解。所以210在中项和中有7组解,则实际数类参与运算时(即模30余11,13,17,19这四类余数),有7*4=28组解,即不定方程x+y=210在模30余11,13,17,19这四类数中有28组解,其它的可以按比例求得,偶数=210+离中心值。
模30余±10,±12,±14等六类余数无解,所有奇余数(模30的余数)都无解,其余的偶数有解,也就是说,模30的15类余数,其中6类余数无解,9类余数有解。
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 楼主| 发表于 2019-7-12 17:43 | 显示全部楼层
根据6#给的公式和3#给的比例,则2310的偶数在模30余11,13,17,19四类数的解组数=2310/30*4=77*4=308组解。
即x+y=2310整数不定方程在限制条件下(模30余11,13,17,19四类数中),解得组数=308组。
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