模30余11,13,17,19四类数和的分布

白新岭

在线性方程中x+y=2n，求它符合条件的正整数解的组数，限制条件是x，y必须是模30余11,13,17,19其中的一类数。给出通项求解公式（不是具体的解，是求有几组解的通项公式），指出模30的偶数中那类余数没有解，如判断一下30m+2的偶数类是否有解。
这道线性方程正整数解得组数问题有点难，但是比起哥德巴赫猜想来说，就容易多了。
有兴趣的可以试着做些分析和解答。

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特征值合成        -4        -2        2        4
-4        -8        -6        -2        0
-2        -6        -4        0        2
2        -2        0        4        6
4        0        2        6        8
这是以中心值（中项代替四类数参与运算）后，离中心距离的分布情况，第一列和第一行是参与运算的特征值，主要部分是合成结果，它表示离中项合成结果的距离和出现次数。

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离中心        统计
-8        1
-6        2
-4        1
-2        2
0        4
2        2
4        1
6        2
8        1
这是上楼出现数统计结果，如果用实际数置换中项后，就得到这种分布情况，严格按此比例出现（或分配），意思是说，如果某偶数在上述四类数中项和中有一组解，则对应偶数（有离中心值加上中项和结果对应的偶数）就有如上统计倍数的解（严格按统计结果形成比例关系）。

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打个比方，偶数210在其中项中有10组解，当实际四类数参与运算后，则出现此数与中项和结果出现上楼数字比例，在假设210在中项中有10组解，则实际四类余数参加时，有4*10=40组解，即实际四类运算结果是中项运算结果的4倍，所以上楼的统计结果就是9类偶数的比例关系，它是中项和为1组时，四类数实际参与运算后得到的解的组数（对应偶数是中项和结果+离中心值）。

所以我们只研究中项15m的加法合成结果分布即可。

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对于正整数解的组数有一个普遍使用的公式就是=1/(m-1）！*系数*符合条件元素个数的^m/n，这里的m是运算元数，即有几个数参与加减运算，n是范围值。可以套用此公式找到此贴的求解公式（不是具体解，是指有多少组解），因为此题是二元加法运算，所以1/（m-1）!=1，就不显示它了，那系数如何求得？留给读者，这里符合条件的元素个数=INT(n/30+0.5),即在半周期时出现一个值。

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对中项15x而言，条件2只能合成能整除它的数；条件3也是只能合成能整除它的数；条件5同样也是只能合成能整除它的数；所以中项的和只能合成2*3*5=30m的偶数，非30的倍数都不能合成，根据系数=周期*合成比例，因为它们都只有一种合成方法，所以合成比例为100%，周期即它们的积=2*3*5=30，所以合成系数=30，合成数量=系数*符合条件的元素个数^2/n，推出n=30m的偶数正整数解得组数是=30*（30m/30）^2/(30m）=30*m^2/(30m）=m，即30m的数在中项参与运算时，有m组解。所以210在中项和中有7组解，则实际数类参与运算时（即模30余11,13,17,19这四类余数），有7*4=28组解，即不定方程x+y=210在模30余11,13,17,19这四类数中有28组解，其它的可以按比例求得，偶数=210+离中心值。
模30余±10，±12，±14等六类余数无解，所有奇余数（模30的余数）都无解，其余的偶数有解，也就是说，模30的15类余数，其中6类余数无解，9类余数有解。

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根据6#给的公式和3#给的比例，则2310的偶数在模30余11,13,17,19四类数的解组数=2310/30*4=77*4=308组解。
即x+y=2310整数不定方程在限制条件下（模30余11,13,17，19四类数中），解得组数=308组。

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多少在加点难度，模210余97，101，103，107，109，113这六种余数和的分布，用一个公式表示出来，指出与其他偶数的比例关系，指出不能合成的自然数类别（以模210为分类标准）。

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特征值合成        -8        -4        -2        2        4        8        8
-8        -16        -12        -10        -6        -4        0        0
-4        -12        -8        -6        -2        0        4        4
-2        -10        -6        -4        0        2        6        6
2        -6        -2        0        4        6        10        10
4        -4        0        2        6        8        12        12
8        0        4        6        10        12        16        16
这是与中项合成相关联数的分布情况，即中项和加特征值的合成结果，得到实际上述6种参与运算时，各相关偶数的分布数据。

白新岭

离中心        统计
-16        1
-14        0
-12        2
-10        2
-8        1
-6        4
-4        3
-2        2
0        7
2        2
4        4
6        5
8        1
10        3
12        3
14        0
16        2
这是上楼的统计结果，从这里可以看出，除±14无解外，其余的偶数都有解（指覆盖范围以内，这里是从-16到16）.