[讨论]一道代数题*

elimqiu

[这个贴子最后由elimqiu在 2009/11/11 07:22pm 第 1 次编辑]

记 L = { (a+b+..+d)^2 | {a,b,..d} 是 {x1,...,xn} 的非空子集},
   S((a+b+..+d)^2) = {a,b,..d}
证明若 P1,...,Pk, Q1,...,Qm ∈ L 且 P1+...+Pk = Q1+...+Qm，
则以下三者至少有其一成立：
(1) k=m，且 Q1,...,Qm 是P1,...,Pk 的一个重排；
(2) P1,...,Pk 有重复的项；
(3) E = {S(P1),...,S(Pk)} 的某些元的非空交不在E中，或E的某元是另一些元的并；

目前这还是一个猜想。出于将有限集合上的拓扑的计数问题转换成某类二次型的计数问题。
而后者可以让问题离开对形象的依赖，并有更多工具可用。
欢迎各位参与更简明更代数地陈述命题。给出分析。

elimqiu

上面的L可以看成n维空间上的一类半正定二次型。
题目太难？太容易？太平淡？

wanwna

?
L={(a+b+..+d)^2 | {a,b,..d} 是 {1,2,4,5,6} 的子集}
则16,25,1,4,36∈ L,
且16+25=1+4+36

elimqiu

wanwna， 没说清楚： L 是多项式的集合，不是数的集合。

luckylucky

我对重排的定义不太理解。能给出比较清晰的定义吗？

elimqiu

就是说 Q1,...,Qm 与 P1,...,Pk 只是排列顺序上可能不同，或者说 m=k 且有
{1,...,k} 到 {1,...,k} 的一一对应h,使得 Qh(i) = Pi, i=1,2,...,k
注意我们这里说的相等是指多项式的相等。这里的多项式是以{X1,...,Xn}的一部分为变元的(多元)齐次多项式。

elimqiu

一个以正整数为系数的二次型 ΣAij XiXj 如果可以表示成一个特别的和，其中每个加项皆是原二次型的部分变元的和的平方，不妨称这样的表示是原二次型的一个集分解。
当然不是任何二次型都有集分解，我们称有集分解的二次型为一个集族表示。
主贴的问题现在可以表达为：一个集族表示必有唯一的集分解。
当然这里的唯一性是在忽略加项顺序差别的意义上说的。

luckylucky

是否可以这样证明，思路如下：
构造集合
{x|x属于 Q1UQ2UQ3..UQi} = XQ1
{x|x属于 P1UP2UP3..UPi} = XP1
显然 |XQ1| = |XP1|才能满足条件。
同样，构造集合
{x,y| x,y同属于Q1UQ2UQ3..UQi某个多项式之类} =XQ2
。。。 = XP2
显然 |XQ2| = |XP2|才能满足条件。
依次构造
{x,y,z|x,y,z同属于Q1UQ2UQ3..UQi某个多项式之类} =XQ3
.....
由此构成多个等式。
此时可以证明 m和k相等。同时只是个重排。
不知道这样的解决思路是否正确。

wanwna

这个命题不一定成立吧
把L里的各个元素对应的二次型矩阵提出来,
一共2^n-1个
而nXn对称方阵所组成的线性空间需要n(n+1)/2个基
则前面2^n-1个矩阵应该是线性相关的

elimqiu

wanwna很好的思路。我们可以设想如果只允许L的元不能重复出现，任何元所代表的集不能表成其它元代表的集的并，那么线性相关就没有什么可能（当然这需要论证），而这正是最小拓扑基的所要求的。
其实命题就是在否定这些僵硬的‘预制件’能够δ-相关。我们说
L1,...,Lm δ-相关, 是指 Σδj Lj = 0 , 对δj ∈ { 1， -1} 的某指派成立。
很有意思吧？