哈尔莫斯，我的怀念

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哈尔莫斯，我的怀念

作者 | 林开亮
来源 | 数学与人文

引言

我之所以成长为一名数学工作者，并热衷于几何观点下的线性代数，与一个人有很大的关系，这个人就是美国数学家哈尔莫斯（Paul Richard Halmos，1916–2006）。我第一次接触到哈尔莫斯，是通过他的数学自传《我要作数学家》[1]。不记得是大一还是大二，当时我在南开大学数学院的图书资料室闲逛，偶然看到这本书。翻开前几页，我立刻就迷上了它。哈尔莫斯写道（[1]，p. 4）：

“我主张讲解问题要多用文字少用数字，特别是讲解数学时要这样做。在数学中，创造精妙的符号体系（以表示乘积、方幂、级数、积分等一切计算概念），常常是一大进步，然而，使用符号虽然能简化计算，同样也会导致概念变得晦涩难懂。”

接下来哈尔莫斯举了一个例子来说明文字的优越性，他只用一句话就点透了内积空间中著名的贝塞尔（F. Bessel）不等式的证明，令我大开眼界，并永志不忘。我觉得自己学到了妙招，在此之前我从未听到有老师这样讲数学。

再往下翻下去，我读到了更多有趣的东西，也得到了更多的实惠，比如知道了《美国数学月刊》、哈代（G. H. Hardy）的名著《纯数学教程》、加德纳（M. Gardner）的数学小品、卡普兰斯基（I. Kaplansky）、麦基（G. Mackey） 等数学名家编写的优秀数学教材——以至于从此以后，我都对哈尔莫斯深怀感激之情；在他诞辰100周年之际，我决定给大家讲一讲我眼中的哈尔莫斯。完整描述哈尔莫斯非笔者能力所及，这里只给出一个概貌。有兴趣进一步了解的朋友可以去翻阅[1]以及他那本著名的《我有一本相册回忆录》 。

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少年哈尔莫斯

哈尔莫斯于1916年3月3日出生于匈牙利布达佩斯，是犹太人。父亲是医生。母亲去世后，父亲移民到美国另立家室。哈尔莫斯13岁被父亲接到芝加哥，从此成了美国人。据哈尔莫斯说，他的继母“像解极值问题一样对待生活中的每件事情”。为了节省学费，继母找人帮忙，让哈尔莫斯直接插班高二。当然之所以能够顺利跳级，主要还是因为哈尔莫斯聪明。

哈尔莫斯很快就掌握了英语。高中毕业后，为了追求自由，哈尔莫斯选择了离家更远的伊利诺伊大学，而不是数学实力更雄厚、阵容更强大的且位于近水楼台的芝加哥大学。1931年9月，15岁的哈尔莫斯在伊利诺伊大学注册，专业是化学工程。哈尔莫斯很快发现，自己对化学实验不感兴趣——用他本人的话说，“完成实验报告就像在作假帐”。于是他转到数学系。

大一时他修了三门数学课：代数、三角、解析几何。只有解析几何是新东西，可惜当时并没有学习线性代数（矩阵和向量），他对所谓的“化简”和“旋转”不得要领。大二时他修了空间解析几何与微积分（当时认为微积分对大一学生来说还太难了），用的教材是Granville–Smith–Longley的《微积分》。哈尔莫斯很憎恶这本书，不懂作者到底在说些什么。直到大二快结束时，哈尔莫斯才“越来越确信，主修数学算是找对了方向。”大三时哈尔莫斯修了三门数学课：高等代数、高等微积分、射影几何。教射影几何的莱维（H. Levy）很喜欢哈尔莫斯，曾带他到数学图书馆，教他使用数学文献。后来莱维指导了哈尔莫斯的本科学位论文。大四时，哈尔莫斯又修了三门数学课：高等欧几里得几何、数学的基本概念、概率论。这些课程留给他的感觉，更多是神秘而非美妙。

总的来说，由于当时伊利诺伊大学的绝大部分数学教师都不搞数学研究（甚至连教学都成问题），哈尔莫斯本科阶段没有打好数学基础，他是这样回顾其本科生涯的（[1]，p.45）：

“我的以数学为主修科的本科教育，就这样匆匆而过。在数学方面，我不仅缺乏启迪，而且无知得惊人。Weierstrass，Hausdorff，Poincaré，Galois和Cayley，对我而言，纯粹是传闻；我对正经的分析、点集拓扑、代数拓扑、抽象代数、甚至是4阶方阵乘法之外的线性代数，一无所知。”

1934年，哈尔莫斯本科毕业。之后继续在伊利诺伊研究生院深造。他起初选的是哲学专业（早在大二时，他就通过逻辑课对哲学发生了兴趣），同时也修统计课，以保持对数学的兴趣。大概是他在哲学方面没什么天分，在1935年的哲学硕士学位的综合口试中挂了，这断了他的哲学路。不过好在他还有数学这条后路，哈尔莫斯因此正式转为数学研究生。

哈尔莫斯修的头三门研究生数学课是代数、分析和数论。代数用的是博谢（M. Bôcher）的教材，哈尔莫斯发现很难，他后来这样评价这本书（[1], p.51）：

“我做学生的时候，我们用的矩阵论的教材是博谢的老得掉牙的书（我认为写得一团糟），我在这个科目上花的大量时间当中，我的主要情绪是恼火，有时甚至达到愤怒。……直到四五年以后，在我已经取得博士学位、听冯·诺依曼（J. von Neumann）讲算子理论以后，我才真正开始懂得这个科目是讲什么的。”

为了掌握线性代数，哈尔莫斯极其用功，参考了迪克森（L. E. Dickson）的《近世代数理论》，还带领同学讨论比较难懂的 -矩阵。功夫不负有心人，哈尔莫斯终于过了线性代数这一关。教数论的是研究生院院长卡迈克尔（R. D. Carmichael）。卡迈克尔不仅研究做得好，也是一位优秀的教员。正是他，让哈尔莫斯爱上了数论，并直到哈尔莫斯做出第一项研究。

卡迈克尔给学生讲了印度传奇数学家拉马努金（S. Ramanujan）1917 年的一项研究：对于哪些四元正整数组 (a,b,c,d)，二次型 ax^2+by^2+cz^2+dt^2 (变量 x,y,z,t 取整数值)可以表示出所有的正整数？拉马努金确定出一共有55个这样的四元数组，而迪克森在1927年则指出其中有一个 (1,2,5,5)  刚好不能表示15。卡迈克尔受到这一成果的启发，建议哈尔莫斯考虑下述问题：对于哪些四元正整数组 (a,b,c,d)，二次型 ax^2+by^2+cz^2+dt^2 可以表示出恰好除了一个整数之外的所有的正整数？哈尔莫斯发现，可能的四元数组一共有88种，并证明了其中87种确实如此。剩下的一种 (1,2,7,13) 他在1938年发表文章（Halmos, P. R. (1938). Note on almost-universal forms. Bull. Amer. Math. Soc. 44(2): 141–144.）时尚不能肯定，后来被帕尔（G. Pall）证明（Pall, G. (1940). An almost universal form. Bull. Amer. Math. Soc. 46(4): 291.）。（2018年，M. Barowsky及其合作者在 Classically integral quadratic forms excepting at most two values，https://www.ams.org/journals/pro ... -9939-2018-13891-5/ 中指出 Halmos发现的88种中有两种（ (1,1,2,22) 和 (1,2,4,22) ）其实不能表出某两个正整数，他们定出了所有恰好不能表出两个正整数的四元数组）哈尔莫斯后来这样总结这项研究（[1]，p.54）：

“做这个题目——我第一次发表的研究成果——不需要任何灵感，只需要耐心和勤奋，多应用卡迈克尔教给我的那些技术。但这项工作给了我一种成就感和我可以做研究的信心（这是极其需要的）。我非常得意，买了200份抽印本。结果，等到好多年后，我才全部送完。”

不过哈尔莫斯觉得自己突然跃迁为真正数学家的那一刻，是在1936年4月的某一天，他突然对分析有了顿悟，对此他记忆犹新（[1]，p.61）：

“天色破晓时——我记得彼时的情景——安布罗斯（W. Ambrose）和我在教学楼二层的一间讨论室里谈话，他的一些话可谓是让我拨云见日所需的最后一抹阳光。突然之间，我对  ε-δ 和极限恍然大悟，十分清楚、优美，非常令人兴奋。我欢欣鼓舞，花了一个小时把Granville–Smith–Longley的《微积分》翻了一遍，忍不住快乐地点头。对，对，毫无疑问，我能证明这个！——是的，这很显然——他们怎么能把它弄得那么糟？我觉得一切都豁然开朗了。我还有很多东西要学，但没有任何东西能够阻止我去学习了。我知道，我能学明白。那一刻，我就成了数学家。”

尽管哈尔莫斯在那一刻对分析有感觉了，但他并没有立即喜欢上分析。他最终热爱上分析，要归因于年轻教员杜布（J. L. Doob）的影响。杜布1935年来到伊利诺伊，这对哈尔莫斯来说意义非凡。事实上，杜布后来成了哈尔莫斯的博士学位论文指导老师。1938年，哈尔莫斯以学位论文《随机变换的不变量：赌博系统的一般理论》获得博士学位。哈尔莫斯是杜布门下的第一个博士，而他的死党安布罗斯则于次年成为杜布的第二个博士。（杜布一共培养了16名博士，除了哈尔莫斯和安布罗斯，还有David H. Blackwell和周元燊(1924–)。）



那一年全美只有68人获得数学博士学位，照理说哈尔莫斯很容易找到教职。可是他发出的120份求职信，只收到两封回复：都是No。其原因可能正如杜克大学数学系主任格根（John Jay Gergen）后来透露的那样，“我们不想要任何难民。”1938年8月下旬，他的母校伊利诺伊大学同意聘用哈尔莫斯，年薪是1800美元，每周15课时的教学任务。这在当时算是标准的薪资。

哈尔莫斯在母校的教学和研究并不顺利，一年后安布罗斯被普林斯顿高等研究院接收为博士后研究员。哈尔莫斯认为这是个好机会，于是请求母校放行，允许他同去高等研究院游学访问。

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普林斯顿遇贵人

高等研究院坐落在普林斯顿，离普林斯顿大学不远，当时已成为数学世界的中心，哈尔莫斯在这里结识了许多后来成名的大数学家，从他们那里学到了许多东西。幸亏他的匈牙利同胞冯·诺依曼慧眼识珠，哈尔莫斯在第二个学期就被高等研究院接收为正式研究员。哈尔莫斯之所以被冯·诺依曼相中，是因为冯·诺依曼看了哈尔莫斯所记的线性代数笔记，非常满意。哈尔莫斯觉得冯·诺依曼的讲课优美而富有启发性，后来自发为普林斯顿大学的研究生讲授冯·诺依曼观点下的线性代数，取得了空前的成功。他又根据学生记下的笔记，写成了他的第一本数学著作《有限维向量空间》[2]。在冯·诺依曼的帮助下，该书于1942年作为普林斯顿数学研究丛书第7号出版。



哈尔莫斯在普林斯顿读了不少书，如斯通（M. H. Stone）关于希尔伯特（Hilbert）空间的著作，冯·诺依曼关于连续几何的讲义，但最让他兴奋的是庞特里亚金（L. Pontrjagin）的《拓扑群》 ，他这样写道（[1]，p.123）：

“我读庞特里亚金的《拓扑群》，雷默（E. Lehmer）夫人的英译本刚出版，这是一本让人开眼界的书，给人启发、令人激动的书。真的，像读侦探小说，要找到案件的主谋。”

哈尔莫斯在普林斯顿高等研究院一共待了三年（1939–1942），其间产生了两项合作研究，一项是与冯·诺依曼关于遍历理论的合作，一项是与萨默尔森（H. Samelson）关于拓扑群的合作。跟他的《有限维向量空间》一样，这两个工作都发表于1942年。

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芝加哥黄金时代

普林斯顿时代结束后，哈尔莫斯重新回到伊利诺伊，不过一年后他转到锡拉丘兹，直到1946年9月，他换到了更好的大学——芝加哥大学，由此而开启了他生命中最令人振奋和富有成果的阶段。

当时斯通被芝加哥大学任命为新的数学系主任，数学系也因此而迎来了辉煌的斯通时代。哈尔莫斯之所以能收到芝加哥大学的聘书，与斯通的提名密切相关。在上世纪50年代，芝加哥大学数学系有四位名满天下的数学家坐镇，他们分别是：韦伊（A. Weil）、陈省身、麦克莱恩（S. MacLane）和齐格蒙德（A. Zygmund）。这帮助芝加哥大学吸引来不少杰出的学生，比如日后成为享誉世界的数学人物的汤普森（J. G. Thompson）、柯恩（P. J. Cohen）、斯坦（E. M. Stein）、辛格（I. M. Singer）、卡尔德伦(A. P. Calderón)等。尽管哈尔莫斯无法跟陈省身、韦伊等大牛比肩，但他仍吸引了九名优秀的学生作为博士研究生，其中他最引以为豪是毕晓普（E. Bishop），构造性分析的创始人。

在教学方面，哈尔莫斯虽然自认为是一个很优秀的教师，但芝加哥大学的学生很有才华而且非常用功，于是教学也是一大挑战，哈尔莫斯非常努力地让自己成为一名更优秀的教师。例如，他在每一个班干得的第一件事情就是尽快了解他的学生。为此，他要求学生坐在自己想做的位置，但要求固定座位，以便他记住每一个人。他甚至还通过漫画来记住学生的特征：长头发、圆脸、牛角镜框等。如果班上学生不多，他会要求每位学生在开学一两周内去办公室跟他闲聊，了解他们的大致情况（来自哪里，高中是否学过微积分，想学什么，哪门课程有困难……），让学生真真切切感受到，一位近在咫尺的教授正实实在在地关心着他们的成长。

在研究方面，哈尔莫斯开始实践他的一个信念：为保持活力，必须每五年更换一个领域。因此，他先后研究了许多领域：希尔伯特空间、测度论、遍历理论、逻辑学。前三个领域是受杜布和冯·诺依曼的影响，对逻辑学的兴趣则源于罗素（B. Russell）的通俗著作和罗素与怀特海（A. N. Whitehead）的经典著作《数学原理》。

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作家哈尔莫斯

“我以能成为教师而骄傲，教书是一个如蜉蝣般朝生暮死的事业，就像拉小提琴，乐曲结束就完了，教师给学生上课也是一样，一门课程上完就结束了，而写作是一个永久的事业，虽然辛苦，可是我欢喜。---------- 哈尔莫斯”

哈尔莫斯非常擅长写书，他在许多领域都有专著，其中《测度论》[3]和《希尔伯特空间问题集》[4]列入他所主编的研究生数学丛书 （Graduate Texts in Mathematics，常缩写为GTM）第18号和第19号，并且都有中译本 ；而《布尔代数讲义》和《朴素集合论》则与新版本的《有限维向量空间》一起列入他所主编的本科生数学丛书（Undergraduate Texts in Mathematics，常缩写为UTM）的前三本，其中《布尔代数讲义》的新版本《布尔代数引论》作为UTM第128号于2009年出版，这是由哈尔莫斯与葛范德（Steven Givant）合作完成的。特别要提到《希尔伯特空间问题集》一书，据哈尔莫斯讲，第一版全书共有199个问题，他逼迫自己每天必须写一个问题，但是事实上，完成此书花了他三倍的时间。哈尔莫斯认为，他写的书中，最好的也许就是《希尔伯特空间问题集》和《有限维向量空间》。对于大一大二的本科生，我们还特别推荐一下他的《线性代数问题集》[5]。另外，哈尔莫斯还编了一本《写给数学爱好者的新老问题》[6]。

哈尔莫斯的三本数学问题集，正是体现了他的一项特殊才能：善于提出问题。哈尔莫斯注意到习题的价值，可能受到他的同胞、匈牙利数学家波利亚（G. Pólya）与舍贵（G. Szegö）的两卷本经典《分析中的问题和定理》 的影响。波利亚–舍贵的书培育了好几代数学家，从我国的老前辈徐利治（1920–2019），到加州大学的年轻俄国女数学家霍尔茨（O. Holtz ，1973–），都曾从中受益（见Olga Holtz，My Random Walks with Pólya and Szegö. 对于徐利治的情况，可见徐利治、袁向东、郭金海《徐利治访谈录》（湖南教育出版社，2009年）第七章）。该书收入的不少问题直接取自数学论文，因此难度较大，不少成名数学家在学生时代甚至患有所谓“波利亚–舍贵恐惧症”。哈尔莫斯的习题集似乎铺垫得更舒服些，因为他处理的主题比较集中，他好像也更擅长组织和整理。



在阐述自己的博士论文研究时，哈尔莫斯曾引用过波利亚的著名格言“如果你不能解决一个问题，那么就有一个较为容易的问题你没有解决——先找到它！”。这句话出自波利亚的名著《怎样解题》。哈尔莫斯在《数学的心脏》 [7]一文中甚至认为，问题是数学的心脏。哈尔莫斯曾对中国剩余定理感兴趣，曾写明信片问起华裔朋友李信明：中国剩余定理是从什么问题来的？

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教师哈尔莫斯



在教学上，哈尔莫斯追寻的教父，是美国数学家穆尔（R. L. Moore），以提倡“穆尔教学法”而著称。据说，穆尔方法的精髓在于一句中国古谚“不闻不若闻之，闻之不若见之，见之不若知之，知之不若行之；学至于行之而止矣。（I hear, I forget. I see, I remember. I do, I understand.）”（蒙香港城市大学陈关荣教授告知，这句话出自荀子《儒效篇》。）对此有兴趣的读者，可见《我要作数学家》第十二章“怎样教书”。



之所以这里特别强调哈尔莫斯的教师身份，一方面是因为，根据他本人的说法（[1]，p.550）“按照质量递减的次序，我是作家、编辑、教师、研究型数学家”，其教师身份重于数学家身份；另一方面则是因为，笔者通过读他的《有限维向量空间》而成为他的忠实学生。从前，当我读到这本书第79节谱定理的开头一句话“我们现在已经准备好证明本书的主要定理……”时，我非常激动，那一刻我觉得终于迎来了最幸福的时刻（之前我对线性代数没有把握）。

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数学家哈尔莫斯

作为研究型数学家，哈尔莫斯固然小有成就 ，但并不耀眼，特别是在他所处的芝加哥数学系的辉煌背景反衬下。当麦克莱恩接替斯通成为系主任以后，想要以一流数学家取代二流数学家，以造就“全球当之无愧的最好的数学系”。哈尔莫斯的研究没有得到他的认可，遭到排挤。1960年底，哈尔莫斯接受密歇根大学的邀请，离开了芝加哥。（根据麦克莱恩写的关于芝加哥大学数学系的历史文章https://celebratio.org/MacLane_S/article/459/，芝加哥大学的“斯通时代”在1960年左右结束。Weil于1958年去了普林斯顿高等研究院，陈省身和Spanier 于1959年去了伯克利, Segal于1960年去了MIT。）他在密歇根带了6名博士研究生，其中最突出的是萨拉森（D. Sarason）。他后来说，他无法判断萨拉森和毕晓普究竟哪一个更优秀。此后，哈尔莫斯曾先后任教于加州大学圣塔芭芭拉分校、夏威夷大学和印第安纳大学，1985年从印第安纳大学退休。他的《我要作数学家》也正是在那一年出版。

哈尔莫斯在自传中用第十二章的全部篇幅讲“怎样教书”，而在第十四章只有一小节讲“怎样做研究” 。他认为这个主题是很难讲的，因为“如何做研究这个过程主要部分是心理上的，是难以描述的。”尽管如此，他还是尽可能地分享了他本人的研究心得——从特殊情形和具体例子出发：“所有伟大数学的源泉，都是特殊情形，都是具体例子。”这也是他写文章、作报告的一贯宗旨。特别的，想要对此获得切身感受的读者可以参考他在台湾中央研究院数学所做的报告记录[8]。哈尔莫斯本人对这个报告很满意（[1]，p.436）：

“我很幸运：结果有一个很小的具体特例，其中涵盖了所需理解的一切概念、所需克服的一切困难。于是我的报告着重于这个特殊情形。我感到很自豪：我觉得我成功地讲述了一个漂亮的问题及其满意的解答，而不必陷于无关的分析技巧的泥沼之中。”



从特殊到一般、从具体到抽象，对于认识事物是自然而然的。不过哈尔莫斯的这种风格并非所有的人都赞同。在自传中，哈尔莫斯曾描述了法国著名数学家迪厄多内（J. Dieudonné）在听他所做的同一主题的报告之后的反应（[1]，p.436）：

“迪厄多内礼貌且友好，但事后明显表现出不屑一顾的态度；我记不清他的原话了，但大意是，他祝贺我的滑稽表演，整个报告留给他的印象似乎是“趣味数学”。这在他的词汇中是个讥讽的字眼；他认为我的报告趣味有余，但是十分做作，流于肤浅。然而我认为（并一直认为），报告可远远超出这种水平。我俩评价的不同源于我们观点上的差别。我想，对于迪厄多内来说，重要的是那个强大的一般性定理，从这一定理你很容易推出所有你需要的特例来；而对我来说，最伟大的前进步骤是，很能说明问题的中心例子，从这一例子中我们很容易搞清楚该例子周围的所有具有普遍性的东西。”

也许我们从迪厄多内这一方面可以侧面理解，为何麦克莱恩不大认可哈尔莫斯的数学成就了。迪厄多内是著名的布尔巴基（N. Bourbaki）学派的代言人与笔杆子，他们提倡的是一般化、公理化；麦克莱恩曾与布尔巴基的成员艾伦伯格（S. Eilenberg）开创抽象的范畴论，他跟迪厄多内更容易产生共鸣。大致说来，数学家分两类，一类是提问解题者，一类是理论创建者。哈尔莫斯属于前者，布尔巴基成员和麦克莱恩属于后者。正如哈尔莫斯自己所言，作为数学家，他最大的强项在于，在某些情况下，能看出两个东西“相同”。虽然他对自己的数学成就总的评价并不高，不过他仍然因为曾经发现了一些美妙的东西而感到欣慰。他自认为，他最接近永垂不朽的数学贡献是“if and only if”（当且仅当）的缩写“iff”和表示证明结束的“墓碑”记号 ■ ，也称为“哈尔莫斯”。

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编辑哈尔莫斯

除了教学和研究，哈尔莫斯还积极参与了许多服务，比如当编辑。作为编辑，哈尔莫斯除了与人合作主编UTM和GTM教学丛书以外，还主编过研究成果丛书、数学中的问题集（Problem Books in Mathematics）丛书，盖伊（R. K. Guy）的《数论中未解决的问题》（有中译本）以及《伯克利数学问题集》就属于后者。哈尔莫斯还曾在1982–1986年间担任著名的普及性数学期刊《美国数学月刊》（American Mathematical Monthly，以下简称《月刊》）的主编。

《月刊》是世界上发行量最大的数学期刊，而且（据哈尔莫斯推测）可能是读者最多的数学期刊。事实上，如果哈尔莫斯知道，中科院数学所与中央研究院数学所各自主编的普及刊物《数学译林》与《数学传播》有很大一部分文章就译自《月刊》的话，他就不会那么保守了。

除了阐述性文章，哈尔莫斯还擅长写书评。他曾负责编辑《美国数学会通报》（Bulletin of AMS）的书评专栏，而他在50年代曾写过14篇书评（例如评过波利亚的《数学与猜想》）。1988年，美国数学会成立一百周年，哈尔莫斯写过一篇精彩的书评《友谊地久天长的数学书》 。（Halmos, Some books of auld lang syne. A Century of Mathematics in America, Part I, pp. 131–174, Hist. Math. 1, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1988.）

哈尔莫斯在任期间，为这份刊物的倾注了许多心血。美国数学协会曾专门设立一个针对《月刊》中优秀综述文章的奖项，名叫福特奖，2012年更名为哈尔莫斯–福特奖（Paul R. Halmos – Lester R. Ford Awards） ，以表示对两位主编福特（Lester R. Ford，1942–1946年间任主编）和哈尔莫斯 工作的高度认可。Halmos本人就两度获得佛特奖(1971年https://www.maa.org/programs/maa ... onal-hilbert-spaces, 1977年https://www.maa.org/programs/maa ... ay-before-yesterday)。2016年，陆志勤与其合作者罗利特（Julie Rowlett）以其文章《对称的声音》 （Zhiqin Lu and Julie Rowlett, The Sound of Symmetry,The American Mathematical Monthly, vol. 122, no. 9, November 2015.）而荣获这一奖项。

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“他那个时代最优秀的数学阐述作者”

早在1944年，28岁的哈尔莫斯就写出了人生中第一篇综述文章《概率之基础》（Halmos, The Foundations of Probability, The American Mathematical Monthly, Vol. 51, (1944), pp. 493-510.），并于两年后获得了美国数学协会颁发的查文尼特写作奖（Chauvenet Prize）。正是这篇文章开启了哈尔莫斯的综述文章写作的生涯，他的代表性综述文章（http://www-groups.dcs.st-and.ac. ... popular_papers.html 有部分文章的介绍）汇集在其论文选第二卷《综述写作》，其中有许多名篇都已经译成中文，如《1940年以来的美国数学》[7]、《数学的心脏》[8]、《解题的教学》 [9]、《如何写数学》 [10]、《如何讲数学》[11] 等。(我们正在筹划编辑一本Halmos文集。)

如前所述，哈尔莫斯既是数学家、也是教师、编辑和作者，而他自认为他作为作者的成就最高。对此, MIT的数学家Gian-Carlo Rota曾 在《我要作数学家》的书评（G-C Rota, Review: I Want to Be a Mathematician: An Automathography, by Paul R Halmos, Amer. Math. Monthly 94 (7) (1987), 700-702.）中特别写道:“Halmos现在被认为是他那个时代最优秀的数学阐述作者。”

除了查文尼特奖，哈尔莫斯还获得了美国数学协会1983年度波利亚写作奖（George Pólya Award）。哈尔莫斯由于其阐述性文章方面的杰出贡献而荣获了美国数学会（AMS）1983年颁发的斯蒂尔数学著述奖（Leroy P. Steele Prize for Mathematical Exposition） ，其颁奖词如下：

“斯蒂尔数学著述奖授予保罗·哈尔莫斯，以表彰他写出了许多处理有限维向量空间、测度论、遍历论和希尔伯特空间的研究生数学教材。这些书中有许多是相关课题中用英文的首次系统阐述。这些著作的巧妙风格和内容对北美的数学教学产生了广泛的影响。他关于如何写作、如何谈论和如何发表数学的文章，曾帮助所有的数学家更有效地交流思想和成果。”

对此，哈尔莫斯做了精彩的答谢（此处中译文改自胥鸣伟老师的译稿《Halmos：他的原话》，作者J. Ewing，见《数学译林》2009年第2期，148-160页。）：

“不久前我偶然发现一篇标题为 “对两个以上争议进行表决的方法”的文章．你可知道，或者你能猜到，它的作者是谁吗？那么对于一篇标题为“论紧群的自同构”又如何呢？谁写的？第一个问题的答案是道奇森（C. L. Dodgson），更广为人知的名字是刘易斯·卡罗尔 （Lewis Carroll），而第二个问题的答案则是保罗·哈尔莫斯。刘易斯·卡罗尔和我的共同点是，我们都被称做为数学家，都努力做研究工作，并且我们都非常认真地努力扩大数学真理的所知范围。为了谋生，刘易斯·卡罗尔当了教师，而仅仅是为了好玩，也因为他爱好讲故事，所以他写了《阿丽丝漫游奇境记》（Alice’s Adventures in Wondeland） 。为了谋生，我当了近50 年的教师，而只是为了好玩，也因为喜欢，我爱好组织文字和阐明问题，所以我写了《有限维向量空间》。那么结果如何呢？我估计读过 “对两个以上争议进行表决的方法”或者“论紧群的自同构”的人屈指可数，然而刘易斯·卡罗尔却因爱丽丝的故事而流芳百世，我也荣获了关于阐述性数学著作的斯蒂尔奖。我不知道尊敬的道奇森先生对于名声是怎样想的，而我本人，则一直受到清教徒般的道德标准的教育：如果某件事好玩，那么做这件事就不应该计较认可与回报。因此结果是，在我确实感到骄傲和快乐的同时，也不禁感到有点忧虑和懊悔。

我喜欢学习，探究，进行理解，而后则是解释，但是接下来的把我所知道的传递给别人总非易事；它可能是极其艰难的。要解释某件事，你必须不仅要加进一些东西还要有所保留；你必须知道什么时候讲出全部真实的东西，什么时候跳过正确的思想而说些无伤大雅的闲言碎语。写阐述性文章的困难不在于文章的风格、语句的斟酌，而是结构、文章的组织。诚然，语句是重要的，但是素材的安排，指出它的各部分间的相互关联，以及与数学其它部分的关联，并恰当地强调指出哪些是容易的，而哪些应该加以小心地处理，这些才是重要得多的……”

作为回报、更是对优秀的作者的鼓励，哈尔莫斯和他夫人弗吉尼亚·哈尔莫斯（Virginia Halmos）（他们1945年结婚，没有子女。）向美国数学协会慷慨捐助，在2005年设立了欧拉图书奖（Euler Book Prize），以表彰那些改观了公众对数学观点的通俗书籍作者。之所以命名为欧拉奖，是因为拟定首届颁奖在欧拉诞辰300周年的2007年。最近国内引进翻译的好几本数学科普书，就荣列欧拉图书奖榜单：《素数之恋》、《普林斯顿数学指南》、《x的奇幻之旅》、《改变世界的17个方程式》、《魔鬼数学:大数据时代,数学思维的力量》、《魔法数学：大魔术的数学灵魂》、《爱与数学》、《算法霸权》。

在2005年，杜布去世后的第二年，哈尔莫斯夫妇捐助美国数学会设立了杜布奖（Joseph L. Doob Prize），每三年颁发一次，授予影响深远的研究类书籍的作者。从2005起开始授奖，目前已颁奖四次，2005年和2014年的获奖者分别是瑟斯顿（W. P. Thurston）和维拉尼（C. Villani）。

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小结



回顾哈尔莫斯的一生可以发现，一个重要的契机，在于他在普林斯顿的听课笔记得到了冯·诺依曼的赏识，事实上他所有的研究领域都有冯·诺依曼的明显印迹。哈尔莫斯因此而接触到远远高于他得博士学位时的水平的数学，不过也许是因为他学生时代学得有点窄有点浅，以致他终究未能成为一位有足够分量的研究型数学家。试设想一下，如果当初在选择大学时，他选择的是近水楼台的芝加哥大学而不是伊利诺伊，也许会有完全不同的局面。然而，他似乎有着一颗浪迹天涯的自由的心！哈尔莫斯曾说：“学数学的就是要走遍世界。”他的足迹确实也遍布世界各地，有点遗憾的，他似乎没来过中国大陆，虽然他曾访问过台湾。

哈尔莫斯从小就爱文字胜过数字。常言道“三岁看老”，他成功地发挥了自己的文字天才，成为了一位举足轻重的数学著作家和数学编辑。哈尔莫斯清晰精炼的数学著作，让许许多多的年轻人受益。例如，普林斯顿大学的数学教授马瑟（J. N. Mather），在高中时代曾自学过不少数学书籍，但他真正读懂的只有一本，就是哈尔莫斯的《有限维向量空间》。

哈尔莫斯及其合作者主编的UTM、GTM丛书已经排列在千千万万个图书馆的数学书架，惠及了世界各地一代又一代的数学新人。特别是在中国，世界图书出版公司引进了影印版，为数学系的师生提供了便利。GTM丛书在国内被作为研究生教材普遍采用，我们期待UTM丛书也将得到本科师生的青睐，特别地，笔者这里向所有数学本科生强烈推荐UTM第1号：《有限维向量空间》。它会让你大开眼界，发现简练的文字与优美的数学，让你感受到从几何的观点来理解线性代数的激动与喜悦！

十多年前，我通过他的自传而了解到他最为得意的《有限维向量空间》并开始阅读，此后就成了他的忠实信徒，并且不自觉地逐渐追随他的脚步，尝试数学写作。终于在十年后的今天，我可以写他——我的引路人哈尔莫斯。如果十年前还是本科生的我能够像现在这样有想法，我会写信告诉彼时还健在的他：亲爱的哈尔莫斯教授，我是多么地喜欢您的《有限维向量空间》！