计算极限 lim(n→∞)√(4+√(4^2+√(4^3+√(…+√（4^n)…))))

elim

题：计算 \(\displaystyle\lim_{n\to\infty}\sqrt{4+\sqrt{4^2+\sqrt{\cdots+\sqrt{4^n}}}}\)

elim

这个极限等于\(3.\;\)论证的方法有点奇葩，友情挑战各位参与！

fungarwai

我見到有人話\(\sqrt{x+\sqrt{x^2+\sqrt{\cdots+\sqrt{x^n}}}}=\sqrt{2x+1}\)
blog.sina.com.cn/s/blog_50967e6c01016dm7.html

elim

fungarwai 发表于 2021-1-27 18:48
我見到有人話\(\sqrt{x+\sqrt{x^2+\sqrt{\cdots+\sqrt{x^n}}}}=\sqrt{2x+1}\)
blog.sina.com.cn/s/blog_50 ...

这种东西大概都可以在 Ramanujan(拉玛努金)的手记本里找到.

xfhaoym

elim 发表于 2021-1-28 10:29
这种东西大概都可以在 Ramanujan(拉玛努金)的手记本里找到.

(拉玛努金)的奇葩公式大概有２千多吧，比如：

elim

xfhaoym 发表于 2021-1-27 19:55
(拉玛努金)的奇葩公式大概有２千多吧，比如：

真是知无涯者！  老毛问：人的正确思想从哪里来，是天上掉下来的，还是脑子里固有的？ 这种问题现在没法问 拉马先生了，真是可惜啊。

王守恩

fungarwai 发表于 2021-1-28 09:48
我見到有人話\(\sqrt{x+\sqrt{x^2+\sqrt{\cdots+\sqrt{x^n}}}}=\sqrt{2x+1}\)
blog.sina.com.cn/s/blog_50 ...

我们有：\((2^n+1)^2=4^n+(2^{n+1}+1)\)

\(3=\sqrt{4+(2^2+1)}\)
\(=\sqrt{4+\sqrt{4^2+(2^3+1)}}\)
\(=\sqrt{4+\sqrt{4^2+\sqrt{4^3+(2^4+1)}}}\)
\(=\sqrt{4+\sqrt{4^2+\sqrt{4^3+\sqrt{4^4+(2^5+1)}}}}\)
\(=\sqrt{4+\sqrt{4^2+\sqrt{4^3+\sqrt{4^4+\sqrt{4^5+(2^6+1)}}}}}\)\(=\sqrt{4+\sqrt{4^2+\sqrt{4^3+\sqrt{4^4+\sqrt{4^5+\sqrt{4^6+2^7+1}}}}}}\)

elim

题：计算 \(\displaystyle\lim_{n\to\infty}\sqrt{\small 4+\sqrt{4^2+\sqrt{\cdots+\sqrt{4^n}}}}\)
解：令\(\;a_n=\sqrt{\small 4+\sqrt{4^2+\sqrt{\cdots+\sqrt{4^n}}}}.\) 易见
\(\qquad 3=\sqrt{4+\sqrt{4^2}+1}=\sqrt{\small 4+\sqrt{4^2+\sqrt{4^3}+1}}\)
\(\qquad\cdots=\sqrt{4+\sqrt{4^2+\sqrt{\cdots\sqrt{4^{n-1}+\sqrt{4^n}+1}}}}> a_n\)
\(\quad\;\)令\(\;\,b_{n,0} = \sqrt{4^n}+1,\;c_{n,0}=\sqrt{4^n}\)
\(\qquad\,\;\; b_{n,k+1}=\sqrt{{\small 4^{n-k-1}+}b_{n,k}},\;c_{n,k+1}=\sqrt{{\small 4^{n-k-1}+}c_{n,k}}\)
\(\because\;\;(b_{n,n-2},c_{n,n-2})=(3,a_n),\;b_{n,k+1}-c_{n,k+1}< \underset{\tiny\,}{\frac{\Large b_{n,k}-c_{n,k}}{\large 2^{n-k}}}\)
\(\therefore\;\; 0< 3-a_n = b_{n,n-2}-c_{n,n-2}< 2^{-(2+3+\cdots+n)}\to 0.\quad\small\square\)

注记：最后一个不等式是其前面那个不等式的\(n-2\)次运用的结果.
有限序列 \(\{b_{n,k}\},\{c_{n,k}\}\) 的构建方式是很独特高明的。略加改进，
可以证明更一般的结果。

elim

按感觉，王守恩老师 7 楼的计算似乎足够说明极限是3了。但是相同的逻辑可以
推出很荒谬的东西。我看过一个视频特别指出这点。没有收藏，要查一查再分享
给大家。所以严格的收敛论证被认为是必要的。

王守恩

xfhaoym 发表于 2021-1-28 10:55
(拉玛努金)的奇葩公式大概有２千多吧，比如：

\(3=\sqrt{1+2×4}\)
\(=\sqrt{1+2\sqrt{1+3×5}}\)
\(=\sqrt{1+2\sqrt{1+3\sqrt{1+4×6}}}\)
\(=\sqrt{1+2\sqrt{1+3\sqrt{1+4\sqrt{1+5×7}}}}\)
\(=\sqrt{1+2\sqrt{1+3\sqrt{1+4\sqrt{1+5\sqrt{1+6×8}}}}}\)
\(=\sqrt{1+2\sqrt{1+3\sqrt{1+4\sqrt{1+5\sqrt{1+6\sqrt{1+7×9}}}}}}\)