孪生素数丛

yangchuanju

孪生素数丛
英文名称：twin prime cluster
Cluster英译汉：n.丛；束；簇;集束炸弹;（别在绶带上代表勋章的附加奖项或更高级别的）小金属徽章;（地雷）群;（辅）音丛；辅音连缀;（人口的）群;金属原子簇化合物;金属原子簇
此处译作“丛”；如译作“束”、“镞”、“集束”，未尝不可；
曾有人称之为“*家村”，“连体孪生素数”，也都很形象。

孪生素数丛之中可含1对、2对、3对、……11对孪生素数，当然还可能含有更多对孪生素数对，猜想存在有任意多对孪生素数的孪生素数丛。
注意：这里用的是“任意多对”，虽然任意多也可以是无穷多，但最好不用“无穷多”这个概念。

只含1对孪生素数的孪生素数丛就是普通孪生素数对；
含2对及2对以上孪生素数的孪生素数丛，其各对孪生素数之间可能还含有其它素数，也可能不含其它素数。
含2对孪生素数的孪生素数丛（简记：2-孪丛），其2对孪生素数的间距（p3-p1或p4-p2）可以是6，或者6的整数倍；其中间距等于6的就是最密四生素数（邻距2,4 2），之间不可能再有其它素数。
间距等于12的“2-孪丛”中间可能含其它素数，如17,19和29,31之间含有素数23；29,31和41,43之间含有素数37等。
间距过大或中间还含有其它素数的含多对孪生素数的孪生素数丛不太引起人们的重视，人们往往只关心间距不是很大，中间又无其它素数的孪生素数丛。

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网页A111950给出含1-10对孪生素数的n-孪丛的最小首素数，孪生素数对之间无其它素数：
网页标题：Smallest order n twin prime cluster.
3, 5, 5, 9419, 909287, 325267931, 678771479, 1107819732821, 170669145704411, 3324648277099157
3——3,5；
5——5,7、11,13；2对孪生素数的间距等于6；
5——5,7、11,13、17,19；3对孪生素数的间距等于6,12；
9419——9419,9421、9431,9433、9437,9439、9461,9463；4对孪生素数的间距分别为12,6,24；
909287——287,289、299,301、317,319、329,331、341,343；5对孪生素数的间距分别为12,18,12,12；
325267931——931,933、937,939、949,951、961,963、979,981、991,993；6对孪生素数的间距分别为6,12,12,18,12；
678771479——479,481、491,493、551,553、557,559、617,619、647,649、659,661；7对孪生素数的间距分别为12,60,6,60,30,12；
1107819732821—— 821,823、911,913、917,919、947,949、959,961、977,979、037,039、061,063；8对孪生素数的间距分别为90,6,30,12,18,60,24；
170669145704411——411,413、501,503、507,509、591,593、639,641、669,671、747,749、807,809、819,821；9对孪生素数的间距分别为90,6,84,48,30,78,60,12；……

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网页A087641给出恰含1-11对孪生素数的n-孪丛的最小首素数，孪生素数对之间没有其它素数：
网页标题：Start of the first sequence of exactly n consecutive pairs of twin primes.
29, 101, 5, 9419, 909287, 325267931, 678771479, 1107819732821, 170669145704411, 3324648277099157, 789795449254776509
因网页标题中多了一个恰字（exactly），与网页A111950的第1,2级的首素数都不相同，第3-10级的首素数相同。
29——29,31；
101——101,103、107,109：2对孪生素数的间距等于6；
5——5,7、11,13、17,19；3对孪生素数的间距等于6,12；
……

网页A035789、A035790、A035791、A035792、A035793、A035794、A035795、A 263205、A 259034分别给出恰由1-9对孪生素数构成的各个孪生素数丛的首素数。
各对孪生素数之间无其它素数。

例如，网页A035790给出恰由2对孪生素数构成的10000个2-孪丛的首素数。
网页标题：Start of a string of exactly 2 consecutive (but disjoint) pairs of twin primes.
【附注】部分英文词和词组英译汉：
Start of a string——字符串的开头；Exactly——恰好；Consecutive——连续；but disjoint——不脱离，不断开；pairs of twin primes——孪生素数对

101,137, 419, 1019, 1049, 1481, 1871, 1931, 2081, 2111, 2969, 3251, 3461, 4259, 5009, 5651, 5867, 6689, 6947, 7331, 7547, 8219, 8969, 10007, 11057, 11159, 11699, 12239, 13001, 13709, 13997, 14561, 15641, 15731, 16061, 16631, 17579, 17909 ……
101——101,103,107,109；2对孪生素数的间距等于6；
137——137,139,149,151；2对孪生素数的间距等于12；
419——419,421,431,433；2对孪生素数的间距等于12；
1019——1019,1021,1031,1033；2对孪生素数的间距等于12；
……

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恰由2对孪生素数构成的“2-孪丛”，与最密四生素数不是同一个概念；11,13,17,19；821,823,827,829等都是最密四生素数，但它们不算作“恰2-孪丛”，因为11,13,17,19前还有一对孪生素数5,7；821,823,827,829前还有一对孪生素数809,811；它俩都是恰由3对孪生素数构成的“3-孪丛”。

网页A053778给出5274组由2对孪生素数构成的四生连续素数之首素数（无恰字）：
5, 11, 101, 137, 179, 191, 419, 809, 821, 1019, 1049, 1481, 1871, 1931, 2081, 2111, 2969, 3251, 3359, 3371, 3461, 4217, 4229, 4259, 5009, 5651, 5867, 6689, 6761, 6779, 6947, 7331, 7547, 8219, 8969, 9419, 9431, 9437, 10007, 11057, 11159, 11699, 12239 ……

网页A007530给出10000组（由2对孪生素数构成的）最密四生素数之首素数（无恰字）：
5, 11, 101, 191, 821, 1481, 1871, 2081, 3251, 3461, 5651, 9431, 13001, 15641, 15731, 16061, 18041, 18911, 19421, 21011, 22271, 25301, 31721, 34841, 43781, 51341, 55331, 62981, 67211, 69491, 72221, 77261, 79691, 81041, 82721, 88811, 97841, 99131……

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网页A035791给出10000组恰由3对孪生素数构成的六生连续素数之首素数：
5, 179, 809, 3359, 4217, 6761, 18041, 21587, 26861, 49367, 67187, 80447, 82721, 91127, 97841, 98897, 103967, 109829, 122597, 154157, 178037, 203321, 208931, 225749, 227609, 236867, 243671, 251201, 266447, 285611, 289109, 295871, 317729……
而网页A136143给出1000组由3对孪生素数构成的六生连续素数之首素数（无恰字）：
5, 179, 809, 3359, 4217, 6761, 9419, 9431, 18041, 21587, 26861, 49367, 62969, 62981, 67187, 72221, 72227, 80447, 82721, 91127, 97841, 98897, 103967, 109829, 122597, 154157, 178037, 203321, 208931, 225749, 227609, 236867, 243671, 251201……
经对比，网页A136143中的9419, 9431等在网页A035791中不出现。

网页A 035792给出10000组恰由4对孪生素数构成的八生连续素数之首素数：
9419, 62969, 72221, 392261, 495569, 663569, 1006301, 1138367, 1159187, 1173539, 1322147, 2144477, 2168651, 2502341, 2668217, 3020999, 3215711, 3664679, 4890857, 5248079, 5261699, 5532269, 5561597, 5651729, 5787317, 6256727 ……
而网页A136145给出200组由4对孪生素数构成的八生连续素数之首素数（无恰字）：
9419, 62969, 72221, 392261, 495569, 663569, 909287, 909299, 1006301, 1138367, 1159187, 1173539, 1322147, 2144477, 2168651, 2502341, 2596619, 2596637, 2668217, 3020999, 3215711, 3664679, 4890857, 5248079, 5261699, 5532269……
经对比，网页A136145中的909287, 909299等在网页A035792中不出现。

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第1-2组恰由8对孪生素数构成的16生连续素数是（A263205）：
1107819732821 is prime         3735283249697 is prime
1107819732823 is prime         3735283249699 is prime
1107819732911 is prime         3735283249721 is prime
1107819732913 is prime         3735283249723 is prime
1107819732917 is prime         3735283249727 is prime
1107819732919 is prime         3735283249729 is prime
1107819732947 is prime         3735283249739 is prime
1107819732949 is prime         3735283249741 is prime
1107819732959 is prime         3735283249847 is prime
1107819732961 is prime         3735283249849 is prime
1107819732977 is prime         3735283249931 is prime
1107819732979 is prime         3735283249933 is prime
1107819733037 is prime         3735283249937 is prime
1107819733039 is prime         3735283249939 is prime
1107819733061 is prime         3735283249961 is prime
1107819733063 is prime         3735283249963 is prime
总间距242=
90+6+30+12+18+60+24+2        总间距266=
24+6+12+108+84+6+24+2

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恰由9对孪生素数构成的18生连续素数（九家村）现已得到372组（A259034），前14组首素数是：
170669145704411, 597655503030737, 1209758169609917, 1529543606818727, 1980326398382819, 2752137854763287, 3748062700238369, 4071945430128767, 4518517172328671, 4662894516572177, 5979435335619701, 6264049608329957, 7609375387833677, 8064845880680819 （15-16位数）
第1-2组恰由9对孪生素数构成的18生连续素数是：
素数        邻距        素数        邻距
170669145704411         2        597655503030737         2
170669145704413         88         597655503030739         52
170669145704501         2         597655503030791         2
170669145704503         4         597655503030793         28
170669145704507         2         597655503030821         2
170669145704509         82         597655503030823         28
170669145704591         2         597655503030851         2
170669145704593         46         597655503030853         16
170669145704639         2         597655503030869         2
170669145704641         28         597655503030871         88
170669145704669         2         597655503030959         2
170669145704671         76         597655503030961         16
170669145704747         2         597655503030977         2
170669145704749         58         597655503030979         28
170669145704807         2         597655503031007         2
170669145704809         10         597655503031009         40
170669145704819         2         597655503031049         2
170669145704821         总410        597655503031051         总314

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恰由10对孪生素数构成的20生连续素数（十家村）现已得到9组（A335395），其首素数是：
3324648277099157, 31910610414019031, 55016223757181177, 58714524586913549, 124129161487792607, 177564738317068181, 191369558592252011, 199330124393114021, 314398595062088219
a(1) = A087641(10) = 3324648277099157, 3324648277099157 + s where s = {0, 2, 54, 56, 72, 74, 84, 86, 150, 152, 162, 164, 180, 182, 240, 242, 264, 266, 294, 296} are prime.第一组总间距296。
一组更大的由10对孪生素数构成的20生连续素数是（难题122）：[9224121946845515441,9224121946845515863], 19 digits:
..441, ..443; ..537, ..539; ..627, ..629; ..639, ..641; ..657, ..659;
..711, ..713; ..777, ..779; ..819, ..821; ..849, ..851; ..861, ..863;
19位数，总间距422。

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恰由11对孪生素数构成的22生连续素数（十一家村）现已得到1组，首尾素数分别是[789795449254776509, 789795449254776871]，18位数，总间距362（难题122）。
经计算，它是由以下11对孪生素数构成的，各孪生素数对之间无任何其它素数：
素数        邻距
789795449254776509        2
789795449254776511        16
789795449254776527        2
789795449254776529        22
789795449254776551        2
789795449254776553        28
789795449254776581        2
789795449254776583        34
789795449254776617        2
789795449254776619        28
789795449254776647        2
789795449254776649        100
789795449254776749        2
789795449254776751        10
789795449254776761        2
789795449254776763        16
789795449254776779        2
789795449254776781        46
789795449254776827        2
789795449254776829        40
789795449254776869        2
789795449254776871        总362

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以上论及的n-孪丛，各对孪生素数之间均无其它素数；各对孪生素数之间的间距一般是不相等的。
下面给出的n-孪丛，也是针对各对孪生素数之间无其它素数的，但n-孪丛中的各对孪生素数之间的间距是前后对称的。
网页A274792给出由1-8对孪生素数构成的间距对称的连续2-16生素数之最小首素数：
3, 5, 5, 663569, 3031329797, 17479880417, 1855418882807417, 2640138520272677

网页A336966给出20组由5对孪生素数构成的间距对称的10生连续素数之首素数：
3031329797, 5188151387, 14168924459, 14768184029, 18028534367, 26697800819, 26919220961, 29205326387, 32544026699, 39713433671, 45898528799, 48263504459, 50791655009, 66419473031, 71525244611, 80179195037, 83700877199, 86767580069, 97660776137, 108116163479……
第一组3031329797的间距是{0, 2, 12, 14, 42, 44, 72, 74, 84, 86}，孪生素数对的邻距是{12, 30, 30, 12}，前后对称的。

网页A330278给出10000组由6对孪生素数构成的间距对称的12生连续素数之首素数：
17479880417, 158074620437, 1071796554401, 1087779101699, 1153782400787, 1628444511389, 2066102452949, 2083857437327, 2561560206377, 3731086236287, 3751571181929, 4158362831639, 4878193583477, 5008751356547, 5378606656847, 5531533689527, 7020090738707, 7036216236989……
第一组17479880417的间距是{0, 2, 24, 26, 30, 32, 54, 56, 60, 62, 84, 86}，孪生素数对的邻距是{24, 6, 24, 6, 24}，前后对称的。

网页A335044给出122组由7对孪生素数构成的间距对称的14生连续素数之首素数：
1855418882807417, 2485390773085247, 4038284355308309, 14953912258447817, 16152884167551797, 20149877129714999, 23535061700758967, 24067519779525107, 25892136591156917, 28681238268465371, 29359755788438639, 38364690814563809, 52367733685120277 ……

网页A335394给出18组由8对孪生素数构成的间距对称的16生连续素数之首素数：
2640138520272677, 119890755200639999, 156961225134536189, 193609877401516181, 215315384130681929, 404072710417411769, 517426190585100089, 519460320704755811……