特征多项式的若干疑问。

wufaxian

请看上图第一个蓝线部分
为什么复数域必有两个根？为什么从复数域有两个根可以推出式(5-9)？如果复数域得到两个根有可能是含有虚部的复数么？这两个根相等么？

杨协成

因为在书中已经说了 \(f(\lambda)\) 是二次多项式。根据代数基本定理，二次多项式在复数域 \(\mathbb{C}\) 必有两个根。两个根有可能相等（重根），也有可能不相等。根有可能是虚部为零的实数，有可能是实部为零的虚数，也有可能是实部和虚部都不为零的复数。

如果 \(\lambda_1\)，\(\lambda_2\) 为二次多项式的两个根，那么根据定义有 \(f(\lambda_1)=f(\lambda_2)=0\)，所以该二次多项式必然可以写为 \(f(\lambda)=(\lambda-\lambda_1)(\lambda-\lambda_2)\)

wufaxian

杨协成 发表于 2021-8-28 23:11
因为在书中已经说了 \(f(\lambda)\) 是二次多项式。根据代数基本定理，二次多项式在复数域 \(\mathbb{C}\)  ...

谢谢回复。

作者想证明矩阵特征值之和等于矩阵对角线元素之和。为什么上来就建立这样一个方程：
f(\(\lambda\))=\(\left| \lambda E-A\right|\)

这个天降公式与要证明的内容之间是如何建立联系的？我有点没跟上思路。还望指教。

由于该书主要从几何角度讨论线性代数，前面的内容并没有按照一般线性代数书籍展开。所以要想搞懂这个问题我是否还需要去看看哪方面的数学知识？还请指教。

杨协成

\(f(\lambda)=\left| \lambda \mathbf{E}-\mathbf{A}\right|\) 是矩阵 \(\mathbf{A}\) 的特征多项式的定义。矩阵特征值则定义为矩阵特征多项式的根。

这个天降公式与要证明的内容之间是如何建立联系的？

原书中已经写的很清楚：“对比式（5-8）和式（5-9）”

原书中式（5-10）的第一个式子表明：矩阵特征值之和等于矩阵对角线元素之和

wufaxian

杨协成 发表于 2021-8-29 00:33
\(f(\lambda)=\left| \lambda \mathbf{E}-\mathbf{A}\right|\) 是矩阵 \(\mathbf{A}\) 的特征多项式的定义 ...

谢谢回复，我可能掉到思维陷阱当中了。我把我在井中看到的陈述一下。

首先：f(\(\lambda\))=\(\left| \lambda E-A\right|\)是矩阵A的特征多项式的定义。矩阵特征值则定义为矩阵特征多项式的根。----------我搜索了一下这本书，书中第一次出现特征多项式就是在截图这一页。书中引出特征值和特征向量是介绍，Aa=\(\lambda\) a   其中A是某个变换矩阵，a是矩阵A对应的特征向量 \(\lambda\) 是特征值。如果要求特征值，我觉得比较朴素的办法（该该办法只有一般性，没有普遍性，因此不能作为证明来看待）。当矩阵A和于其对应的特征向量给定以后，计算Aa，得到一个新的向量b，这个新的向量如果是a的线性延长，那么应该一眼可知。比如b1/a1 =bn/an=\(\lambda\) 。n为任意自然数。小于等于向量 最大 维数。

但是书中直接给出特征多项式，并且强行告知，这就是求特征值的工具，有点突兀。也没有给出证明。并利用这个天降工具来证明后面的结论：“二阶矩阵特征值等于矩阵对角线元素之和”，所以比较难以接受。如果能给出特征多项式的根为什么是矩阵A的特征值的证明就比较容易接受了。 我在网上搜了一圈没找到答案。