|
问 如果将向量加法定义为 (x1,x2)+(y1,y2)=(x1+y2,x2+y1),不满足哪些向量空间的条件?
(1)x+y=(x1,x2)+(y1,y2)=(x1+y2,x2+y1) ,
y+x=(y1+y2)+(x1,x2)=(y1+x2,y2+x1) 。
显然 x+y≠y+x ,不满足向量加法交换律 x+y=y+x 。
(2)x+(y+z)=(x1,x2)+[(y1,y2)+(z1,z2)]=(x1,x2)+(y1+z2,y2+z1)=(x1+y2+z1,x2+y1+z2) ,
(x+y)+z=[(x1,x2)+(y1,y2)]+(z1,z2)=(x1+y2,x2+y1)+(z1,z2)=(x1+y2+z2,x2+y1+z1) 。
显然 x+(y+z)≠(y+x)+z ,不满足向量加法结合律 x+(y+z)=(y+x)+z 。
(3)(c1+c2)x=(c1+c2)(x1,x2)=((c1+c2)x1,(c1+c2)x2)=(c1x1+c2x1,c1x2+c2x2) ,
c1x+c2x=c1(x1,x2)+c2(x1,x2)=(c1x1,c1x2)+(c2x1,c2x2)=(c1x1+c2x2,c1x2+c2x1) 。
显然 (c1+c2)x≠c1x+c2x ,不满足数字加法关于向量数乘的分配律 (c1+c2)x=c1x+c2x 。 |
|